IDZ Ryabushko 3.1 Opción 12

No. 1 Dados cuatro puntos A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9). Formule las ecuaciones: a) plano A1 A2 A3; b) recta A1A2; c) recta A4M, perpendicular al plano A1A2A3; d) recta A3N paralela a la recta A1A2; e) un plano que pasa por el punto A4, perpendicular a la recta A1A2. Calcular: e) el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

a) Encuentre los vectores AB1 y AB2: AB1 = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) AB2 = (2-4; 8-4; 4-10) = ( - 2;4;-6) Entonces el producto vectorial de AB1 y AB2 da el vector normal al plano: n = AB1 x AB2 = (36;18;18) Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma: 36 (x-4)+18( y-4)+18(z-10)=0

b) El vector director de la recta A1A2 es igual a: d = (7-4; 10-4; 2-10) = (3;6;-8) El punto A1 tiene coordenadas (4;4;10), entonces la ecuación de la recta A1A2 tiene la forma: x=4+3t y=4+6t z=10-8t

c) El vector director de la recta A4M debe ser perpendicular al vector normal del plano A1A2A3, por lo tanto, debe ser colineal con el producto vectorial de este vector y el vector dirigido desde el punto A4 a un punto arbitrario M en esta recta . Tomemos, por ejemplo, el punto M(9;0;0): AM = (9-9; 0-6; 0-9) = (0;-6;-9) d = n x AM = (-54;162 ; -54) El punto A4 tiene coordenadas (9;6;9), por lo tanto la ecuación de la recta deseada A4M tiene la forma: x=9-6t y=6+18t z=9-6t

d) El vector director de la recta A3N debe ser colineal al vector director de la recta A1A2, por lo tanto, es igual a: d = (3;6;-8) El punto A3 tiene coordenadas (2;8;4), entonces la ecuación de la recta A3N tiene la forma: x= 2+3t y=8+6t z=4-8t

e) La ecuación del plano deseado tiene la forma: Ax+By+Cz+D=0 Como el avión pasa por el punto A4(9;6;9), sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano: 36(x- 9)+18(y- 6)+18(z-9)=0 Expandamos el lado izquierdo de esta ecuación al producto escalar del vector normal y el vector con coordenadas (x-9; y-6; z -9): 36x-288+18y-108+18z-162 =0 Simplifiquemos: 36x+18y+18z=558 Así, la ecuación del plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 tiene la forma: 36x+ 18y+18z-558=0

e) Encuentre el producto vectorial de los vectores A1A4 y A1A2: n = (26;34;-14) Entonces el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual al módulo de proyección del vector A1A4 sobre el vector normal del plano, dividido por el producto de las longitudes de estos vectores: sinα = |n * A1A4| / (|n| * |A1A4|) |n * A1A4| = |(265)+(34(-2))+((-14)*6)| = 22√29 |norte| = √(26²+34²+(-14)²) = 42 |A1A4| = √(5²+2²+(-1)²) = √30 Así, el seno del ángulo α entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual a: sinα = (22√29) / (42 * √30)

g) El coseno del ángulo entre el plano A1A2A3 y el plano coordenado Oxy es igual a la proyección del vector normal del plano A1A2A3 sobre el eje Ox, dividido por la longitud del vector normal: cosα = |n|ₓ / |norte| donde |n|ₓ es la proyección del vector normal sobre el eje Ox. El vector normal del plano A1A2A3 es igual a (36;18;18), por lo que su proyección sobre el eje Ox es 36. La longitud del vector normal es √(36²+18²+18²) = 6√13. Así, el coseno del ángulo α entre el plano A1A2A3 y el plano coordenado Oxy es igual a: cosα = 36 / (6√13)

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