N° 1. Dados cuatro puntos A1(5;5;4); A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1). Es necesario crear ecuaciones:
a) Encuentre los vectores AB1 = A1 - A2 y AC1 = A1 - A3:
AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)
Entonces el producto vectorial de AB1 y AC1 dará el vector normal del plano:
n1 = AB1 x AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)
Ahora encontremos el coeficiente D del plano sustituyendo las coordenadas del punto A1:
18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0
Simplificar:
6x - 4y + 2z - 2 = 0
Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma: 6x - 4y + 2z - 2 = 0.
b) La ecuación de la recta A1A2 se puede encontrar utilizando la ecuación paramétrica de la recta:
x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4
c) Encuentre el vector de la recta A4M, donde M es un punto arbitrario en la recta perpendicular deseada. Tomemos, por ejemplo, M(0;0;0):
AM = M - A4 = (-5; -8; 1) Entonces el vector deseado será igual a la proyección de AM sobre el vector normal del plano A1A2A3:
n1 = (18; -12; 8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)
Entonces la ecuación de la recta deseada tiene la forma:
x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t
d) Como la recta A3N es paralela a la recta A1A2, su vector director será igual a AB1:
AB1 = (4; 6; 0)
Encontremos la ecuación de la recta A3N usando la ecuación paramétrica:
x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1
e) La ecuación del plano que pasa por el punto A4 y perpendicular a la recta A1A2 también se puede encontrar como la ecuación del plano A1A2A3, utilizando un vector normal igual a la proyección del vector A4A1 sobre el plano descrito por la recta. A1A2:
AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)
proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)
Entonces el vector normal del plano deseado será igual a:
n2 = proyecto_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)
Ahora encontremos el coeficiente D del plano sustituyendo las coordenadas del punto A4:
(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0
Simplificar:
-27x + 18y + 24z - 64 = 0
Así, la ecuación del plano deseado tiene la forma: -27x + 18y + 24z - 64 = 0.
f) Encuentre el vector director de la recta A1A4:
AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)
Entonces el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 es igual a la proyección del vector AA4 sobre el vector normal del plano, dividido por el módulo del vector AA4:
pecado(ángulo) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / raíz cuadrada (0^2 + 3^2 + (-5)^2) / raíz cuadrada (18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -11/29
Respuesta: pecado(ángulo) = -11/29.
g) Encuentre el vector normal del plano A1A2A3:
n1 = (18; -12; 8)
Entonces el coseno del ángulo entre el plano A1A2A3 y el plano coordenado Oxy es igual a la proyección del vector normal del plano sobre el eje Ox, dividido por el módulo del vector normal:
cos(ángulo) = |proj_n1_Ox| / |n1| = |18| / raíz cuadrada (18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7
Respuesta: cos(ángulo) = 3/7.
No. 2. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A(3;4;0) y una recta definida por ecuaciones paramétricas:
x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t
Encontremos el vector director de la recta:
v = (1; -2; 3)
Entonces el vector normal del plano será perpendicular al vector v y podrás encontrarlo tomando el producto vectorial con un vector arbitrario, por ejemplo, con el vector (1; 0; 0):
norte = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)
Ahora encontremos el coeficiente D del plano sustituyendo las coordenadas del punto A:
-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0
Simplificar:
-2x - 3y - 2z + 18 = 0
Así, la ecuación del plano deseado tiene la forma: -2x - 3y - 2z + 18 = 0.
Numero 3. Es necesario encontrar el punto de intersección de la recta especificada por las ecuaciones paramétricas:
x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t
y planos 2x + 3y + z - 1 = 0.
Tenga en cuenta que las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer la ecuación del plano.
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