Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 9

Nr. 1.9. Es werden vier Punkte vergeben: A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6). Es müssen Gleichungen erstellt werden: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft. Es müssen außerdem berechnet werden: e) der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

a) Um die Gleichung der Ebene A1A2A3 zu erstellen, können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene verwenden: Ax + By + Cz + D = 0, wobei die Koeffizienten A, B und C die Richtungskoeffizienten der Normalen zu bestimmen das Flugzeug. Um die Leitkoeffizienten zu finden, ist es notwendig, das Vektorprodukt zweier in der Ebene liegender Vektoren zu bilden, zum Beispiel:

Vektor A1A2: (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) Vektor A1A3: (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4)

Die Richtungskoeffizienten können als Koordinaten des Vektors ermittelt werden, die sich aus dem Kreuzprodukt ergeben: Normal zur Ebene: (-4; -10; -2)

Wenn wir einen der angegebenen Punkte, zum Beispiel A1, in die Gleichung der Ebene einsetzen, erhalten wir den Wert des Koeffizienten D: 7*(-4) + 5*(-10) + 3*(-2) + D = 0 D = 68

Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form: -4x - 10y - 2z + 68 = 0

b) Um die Gleichung der Geraden A1A2 zu erstellen, können Sie die parametrische Form der Geradengleichung verwenden: x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct

Dabei sind (x1, y1, z1) die Koordinaten des Punktes A1 und (a, b, c) die Richtungskoeffizienten der Linie.

Die Richtungskoeffizienten einer Geraden können als Differenz zwischen den Koordinaten der End- und Startpunkte ermittelt werden: a = 9 - 7 = 2 b = 4 - 5 = -1 c = 4 - 3 = 1

Somit hat die Gleichung der Geraden A1A2 die Form: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Um die Gleichung der Geraden A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 aufzustellen, muss die Eigenschaft verwendet werden, dass ein Vektor, der vom Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene in der Richtung normal zur Ebene gezogen wird, auf dieser Geraden liegt .

Die Normale zur Ebene A1A2A3 wurde in Punkt a) gefunden und ist gleich (-4; -10; -2). Ermitteln wir die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden A4M mit der Ebene A1A2A3; setzen wir dazu die Koordinaten des Punktes A4 in die Gleichung der Ebene ein:

-47 - 109 - 2*6 + D = 0 D = 128

Somit lautet die Gleichung der Ebene, die durch Punkt A4 verläuft: -4x - 10y - 2z + 128 = 0

Ermitteln wir die Richtungskoeffizienten der Geraden A4M mithilfe der gefundenen Normalen zur Ebene A1A2A3: a = -4 b = -10 c = -2

Somit lautet die Gleichung der Linie A4M: x = 7 - 4t y = 9 - 10t z = 6 - 2t

d) Um die Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2 aufzustellen, können Sie die Tatsache nutzen, dass die Richtungsvektoren paralleler Geraden kollinear sind. Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:

(9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1)

Somit sind die Führungskoeffizienten der Geraden A3N ebenfalls gleich (2; -1; 1).

Um die Gleichung der Geraden A3N zu finden, müssen die Koordinaten eines Punktes ermittelt werden, der auf dieser Geraden liegt. Wählen Sie dazu einen der angegebenen Punkte aus, zum Beispiel A3, und setzen Sie seine Koordinaten in die Gleichung der parametrischen Form der Geraden ein:

x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

Somit hat die Gleichung der Geraden A3N die Form: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Um die Gleichung einer Ebene zu konstruieren, die durch Punkt A4 und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, können Sie dieselbe Eigenschaft verwenden, auf der ein Vektor liegt, der vom Schnittpunkt der Ebene mit der Linie in der Richtung normal zur Ebene gezeichnet wird diese Linie.

Die Richtungskoeffizienten der Geraden A1A2 wurden in Punkt b) gefunden und sind gleich (2; -1; 1). Finden wir die Normale dieser Linie mithilfe der Eigenschaft, dass die Normale der Linie senkrecht zu ihrem Richtungsvektor steht:

(2; -1; 1) x (0; 0; 1) = (-1; -2; -2)

Somit sind die Richtungskoeffizienten der Ebene senkrecht zur Geraden A1A2 gleich (-1; -2; -2).

Um die Gleichung dieser Ebene zu finden, ist es notwendig, die Koordinaten des Punktes A4 in die Gleichung der allgemeinen Gleichung der Ebene einzusetzen und den Wert des Koeffizienten D zu ermitteln:

-17 - 29 - 2*6 + D = 0 D = 31

Somit ergibt sich die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht verläuft

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 9 ist ein Geometrieproblem, bei dem Sie Gleichungen der Ebene und gerader Linien erstellen und die Werte trigonometrischer Funktionen für gegebene Punkte im Raum berechnen müssen. Das Problem erhält vier Punkte A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6) und erforderlich:

a) Geben Sie die Gleichung der Ebene A1A2A3 an. b) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden A1A2 auf. c) Erstellen Sie eine Gleichung für die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3. d) Erstellen Sie eine Gleichung für die Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2. e) Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht. f) Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3. g) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

Zur Lösung des Problems sind Kenntnisse in Raumgeometrie, Vektoralgebra, Trigonometrie und Algebra erforderlich. Die Lösung des Problems kann für Studierende und Schüler sinnvoll sein, die sich im Rahmen von Geometrie- und Mathematikkursen mit diesen Themen befassen.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 9 ist eine Mathematikaufgabe, die aus drei Zahlen besteht.

In der ersten Ausgabe werden die Koordinaten von vier Punkten im dreidimensionalen Raum angegeben und es gilt, Gleichungen für verschiedene geometrische Objekte wie eine Ebene, eine Gerade usw. zu erstellen. Sie müssen auch die Werte einiger trigonometrischer Funktionen ermitteln.

In der zweiten Ausgabe müssen Sie allgemeine Gleichungen für eine gerade Linie erstellen, die durch den Schnittpunkt zweier Ebenen entsteht.

In der dritten Zahl müssen Sie den Wert des Parameters C ermitteln, bei dem die beiden angegebenen Ebenen senkrecht stehen.

Bei Fragen können Sie sich an den in den Verkäuferinformationen aufgeführten Verkäufer wenden.

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