里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 9

1.9 号。给出四点：A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6)。需要创建方程： a) 平面 A1A2A3； b) 直线 A1A2； c) 直线A4M，垂直于平面A1A2A3； d) 与直线A1A2平行的直线A3N； e) 通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面。还需计算： e) 直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦。

a) 要编写平面 A1A2A3 的方程，可以使用平面一般方程的公式：Ax + By + Cz + D = 0，其中系数 A、B 和 C 确定法线的方向系数飞机。为了找到引导系数，需要计算平面上两个向量的向量积，例如：

向量 A1A2：(9-7；4-5；4-3) = (2；-1；1) 向量 A1A3：(4-7；5-5；7-3) = (-3；0；4)

方向系数可以作为叉积结果获得的矢量的坐标找到： 垂直于平面：(-4; -10; -2)

将给定点之一（例如 A1）代入平面方程，可得到系数 D 的值： 7*(-4) + 5*(-10) + 3*(-2) + D = 0 D = 68

因此，平面 A1A2A3 的方程的形式为： -4x - 10y - 2z + 68 = 0

b) 要编写直线 A1A2 的方程，可以使用直线方程的参数形式： x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct

其中(x1,y1,z1)是A1点的坐标，(a,b,c)是直线的方向系数。

直线的指向系数可以通过终点坐标与起点坐标之差求得： a = 9 - 7 = 2 b = 4 - 5 = -1 c = 4 - 3 = 1

因此，直线 A1A2 的方程为： x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) 编写垂直于平面 A1A2A3 的直线 A4M 的方程，需要利用以下性质：从直线与平面的交点沿垂直于平面的方向画出的矢量将位于该直线上。

平面 A1A2A3 的法线在点 a) 处找到，并且等于 (-4; -10; -2)。让我们找到直线 A4M 与平面 A1A2A3 的交点坐标；为此，将点 A4 的坐标代入平面方程：

-47 - 109 - 2*6 + D = 0 D = 128

因此，通过点 A4 的平面方程为： -4x - 10y - 2z + 128 = 0

让我们使用找到的平面 A1A2A3 的法线来求直线 A4M 的方向系数： a = -4 b = -10 c = -2

因此，A4M 线的方程为： x = 7 - 4t y = 9 - 10t z = 6 - 2t

d) 构造与直线A1A2 平行的直线A3N 的方程，可以利用平行直线的方向向量共线的事实。求直线A1A2的方向向量：

(9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1)

因此，直线A3N的引导系数也将等于(2；-1；1)。

为了找到直线 A3N 的方程，需要找到该直线上一点的坐标。为此，选择任意给定点（例如 A3），并将其坐标代入直线参数形式的方程中：

x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

因此，直线 A3N 的方程为： x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) 要构造穿过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程，您可以使用与从平面与垂直于平面的方向的线的交点绘制的向量将位于相同的属性这条线。

在b)点求出直线A1A2的指向系数，等于(2；-1；1)。让我们使用线的法线垂直于其方向向量的属性来找到该线的法线：

(2;-1;1) x (0;0;1) = (-1;-2;-2)

因此，垂直于直线A1A2的平面的方向系数等于(-1；-2；-2)。

为了求出该平面的方程，需要将点A4的坐标代入该平面的一般方程的方程中，求出系数D的值：

-17 - 29 - 2*6 + D = 0 D = 31

因此，通过点 A4 并垂线的平面方程

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里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 9 是一个几何问题，您需要创建平面、直线方程并计算空间中给定点的三角函数值。问题给定四个点A1(7;5;3)； A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6)，并且要求：

a) 写出平面 A1A2A3 的方程。 b) 写出直线A1A2 的方程。 c) 创建垂直于平面 A1A2A3 的直线 A4M 的方程。 d) 创建与直线 A1A2 平行的直线 A3N 的方程。 e) 写出穿过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面的方程。 f) 计算直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦值。 g) 计算坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦。

为了解决这个问题，需要空间几何、矢量代数、三角学和代数的知识。解决这个问题对于在几何和数学课程中学习这些主题的学生和学童来说非常有用。

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里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 选项 9 是一项由三个数字组成的数学任务。

第一期给出了三维空间中四个点的坐标，要求对各种几何对象，如平面、直线等建立方程。您还需要找到一些三角函数的值。

在第二个问题中，您需要为两个平面相交形成的直线创建一般方程。

在第三个数字中，您需要找到两个给定平面垂直时的参数 C 的值。

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