Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opção 9

Nº 1.9. São atribuídos quatro pontos: A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6). É necessário criar equações: a) plano A1A2A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2. É necessário calcular também: e) o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Para compilar a equação do plano A1A2A3, pode-se usar a fórmula da equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0, onde os coeficientes A, B e C determinam os coeficientes de direção da normal a o avião. Para encontrar os coeficientes orientadores, é necessário tomar o produto vetorial de dois vetores situados no plano, por exemplo:

Vetor A1A2: (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) Vetor A1A3: (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4)

Os coeficientes de direção podem ser encontrados como as coordenadas do vetor obtido como resultado do produto vetorial: Normal ao plano: (-4; -10; -2)

Substituindo um dos pontos dados, por exemplo, A1, na equação do plano, obtemos o valor do coeficiente D: 7*(-4) + 5*(-10) + 3*(-2) + D = 0 D = 68

Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma: -4x - 10y - 2z + 68 = 0

b) Para compilar a equação da reta A1A2, você pode usar a forma paramétrica da equação da reta: x = x1 + em y = y1 + bt z = z1 + ct

onde (x1, y1, z1) são as coordenadas do ponto A1 e (a, b, c) são os coeficientes de direção da reta.

Os coeficientes de direção de uma linha reta podem ser encontrados como a diferença entre as coordenadas dos pontos final e inicial: a = 9 - 7 = 2 b = 4 - 5 = -1 c = 4 - 3 = 1

Assim, a equação da reta A1A2 tem a forma: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Para compor a equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3, é necessário utilizar a propriedade de que ficará um vetor traçado a partir do ponto de intersecção da reta com o plano na direção da normal ao plano está linha.

A normal ao plano A1A2A3 foi encontrada no ponto a) e é igual a (-4; -10; -2). Vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção da reta A4M com o plano A1A2A3, para isso substituímos as coordenadas do ponto A4 na equação do plano:

-47 - 109 - 2*6 + D = 0 D = 128

Assim, a equação do plano que passa pelo ponto A4 é: -4x - 10y - 2z + 128 = 0

Vamos encontrar os coeficientes de direção da reta A4M usando a normal encontrada ao plano A1A2A3: a = -4 b = -10 c = -2

Assim, a equação da reta A4M é: x = 7 - 4t y = 9 - 10t z = 6 - 2t

d) Para compor a equação da reta A3N paralela à reta A1A2, pode-se usar o fato de que os vetores de direção das retas paralelas são colineares. Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:

(9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1)

Assim, os coeficientes orientadores da reta A3N também serão iguais a (2; -1; 1).

Para encontrar a equação da reta A3N, é necessário encontrar as coordenadas de um ponto situado nesta reta. Para fazer isso, selecione qualquer um dos pontos dados, por exemplo, A3, e substitua suas coordenadas na equação da forma paramétrica da reta:

x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

Assim, a equação da reta A3N tem a forma: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Para construir uma equação para um plano passando pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2, você pode usar a mesma propriedade que um vetor desenhado a partir do ponto de intersecção do plano com a reta na direção normal ao plano ficará. está linha.

Os coeficientes direcionadores da reta A1A2 foram encontrados no ponto b) e são iguais a (2; -1; 1). Vamos encontrar a normal a esta reta usando a propriedade de que a normal à reta é perpendicular ao seu vetor de direção:

(2; -1; 1) x (0; 0; 1) = (-1; -2; -2)

Assim, os coeficientes de direção do plano perpendicular à reta A1A2 são iguais a (-1; -2; -2).

Para encontrar a equação deste plano, é necessário substituir as coordenadas do ponto A4 na equação da equação geral do plano e encontrar o valor do coeficiente D:

-17 - 29 - 2*6 + D = 0 D = 31

Assim, a equação do plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 9 é um problema de geometria no qual você precisa criar equações do plano, linhas retas e calcular os valores das funções trigonométricas para determinados pontos no espaço. O problema recebe quatro pontos A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6), e obrigatório:

a) Escreva a equação do plano A1A2A3. b) Escreva a equação da reta A1A2. c) Crie uma equação para a reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3. d) Crie uma equação para a reta A3N paralela à reta A1A2. e) Escreva uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2. f) Calcule o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3. g) Calcule o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

Para resolver o problema são necessários conhecimentos de geometria espacial, álgebra vetorial, trigonometria e álgebra. A resolução do problema pode ser útil para estudantes e crianças em idade escolar que estudam esses tópicos como parte de cursos de geometria e matemática.

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Ryabushko A.P. A opção 9 do IDZ 3.1 é uma tarefa matemática que consiste em três números.

Na primeira edição são dadas as coordenadas de quatro pontos no espaço tridimensional, sendo necessária a criação de equações para diversos objetos geométricos, como um plano, uma reta, etc. Você também precisa encontrar os valores de algumas funções trigonométricas.

Na segunda questão, é necessário criar equações gerais para uma reta formada pela intersecção de dois planos.

No terceiro número você precisa encontrar o valor do parâmetro C no qual os dois planos dados serão perpendiculares.

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