Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 9

N. 1.9. Vengono assegnati quattro punti: A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6). È necessario creare le equazioni: a) piano A1A2A3; b) dritto A1A2; c) retta A4M, perpendicolare al piano A1A2A3; d) retta A3N parallela alla retta A1A2; e) un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2. Occorre inoltre calcolare: e) il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3; g) coseno dell'angolo compreso tra il piano delle coordinate Oxy e il piano A1A2A3.

a) Per compilare l'equazione del piano A1A2A3 si può utilizzare la formula dell'equazione generale del piano: Ax + By + Cz + D = 0, dove i coefficienti A, B e C determinano i coefficienti di direzione della normale a l'aereo. Per trovare i coefficienti guida, è necessario prendere il prodotto vettoriale di due vettori giacenti sul piano, ad esempio:

Vettore A1A2: (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1) Vettore A1A3: (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4)

I coefficienti di direzione possono essere trovati come le coordinate del vettore ottenuto come risultato del prodotto vettoriale: Normale al piano: (-4; -10; -2)

Sostituendo uno dei punti dati, ad esempio A1, nell'equazione del piano, otteniamo il valore del coefficiente D: 7*(-4) + 5*(-10) + 3*(-2) + D = 0D = 68

Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma: -4x - 10y - 2z + 68 = 0

b) Per compilare l'equazione della retta A1A2 si può utilizzare la forma parametrica dell'equazione della retta: x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct

dove (x1, y1, z1) sono le coordinate del punto A1 e (a, b, c) sono i coefficienti direttivi della linea.

I coefficienti direttivi di una linea retta possono essere trovati come la differenza tra le coordinate del punto finale e iniziale: a = 9 - 7 = 2 b = 4 - 5 = -1 c = 4 - 3 = 1

Pertanto, l'equazione della retta A1A2 ha la forma: x = 7 + 2t y = 5 - t z = 3 + t

c) Per comporre l'equazione della linea A4M perpendicolare al piano A1A2A3, è necessario utilizzare la proprietà che un vettore tracciato dal punto di intersezione della linea con il piano nella direzione normale al piano giace su questa linea .

La normale al piano A1A2A3 è stata trovata nel punto a) ed è pari a (-4; -10; -2). Troviamo le coordinate del punto di intersezione della retta A4M con il piano A1A2A3; per fare ciò sostituiamo nell'equazione del piano le coordinate del punto A4:

-47 - 109 - 2*6 + D = 0 D = 128

Pertanto l'equazione del piano passante per il punto A4 è: -4x - 10y - 2z + 128 = 0

Troviamo i coefficienti direttivi della retta A4M utilizzando la normale trovata al piano A1A2A3: a = -4 b = -10 c = -2

Pertanto, l'equazione della linea A4M è: x = 7 - 4t y = 9 - 10t z = 6 - 2t

d) Per comporre l'equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2, puoi sfruttare il fatto che i vettori di direzione delle rette parallele sono collineari. Troviamo il vettore direzione della retta A1A2:

(9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1)

Pertanto anche i coefficienti guida della retta A3N saranno pari a (2; -1; 1).

Per trovare l'equazione della retta A3N è necessario trovare le coordinate di un punto giacente su tale retta. Per fare ciò, seleziona uno qualsiasi dei punti indicati, ad esempio A3, e sostituisci le sue coordinate nell'equazione della forma parametrica della retta:

x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

Pertanto, l'equazione della retta A3N ha la forma: x = 4 + 2t y = 5 - t z = 7 + t

e) Per costruire un'equazione per un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2, si può utilizzare la stessa proprietà su cui giace un vettore disegnato dal punto di intersezione del piano con la linea nella direzione normale al piano questa linea.

I coefficienti direttori della retta A1A2 sono stati rilevati al punto b) e sono pari a (2; -1; 1). Troviamo la normale a questa linea utilizzando la proprietà che la normale alla linea è perpendicolare al suo vettore di direzione:

(2; -1; 1) x (0; 0; 1) = (-1; -2; -2)

Pertanto i coefficienti di direzione del piano perpendicolare alla retta A1A2 sono pari a (-1; -2; -2).

Per trovare l'equazione di questo piano è necessario sostituire le coordinate del punto A4 nell'equazione dell'equazione generale del piano e trovare il valore del coefficiente D:

-17 - 29 - 2*6 + D = 0 D = 31

Pertanto, l'equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versione 9 è un problema di geometria in cui è necessario creare equazioni del piano, linee rette e calcolare i valori delle funzioni trigonometriche per determinati punti nello spazio. Al problema vengono assegnati quattro punti A1(7;5;3); A2(9;4;4); A3(4;5;7); A4(7;9;6) e richiesto:

a) Scrivi l'equazione del piano A1A2A3. b) Scrivi l'equazione della retta A1A2. c) Creare un'equazione per la retta A4M perpendicolare al piano A1A2A3. d) Crea un'equazione per la retta A3N parallela alla retta A1A2. e) Scrivere un'equazione per un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2. f) Calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3. g) Calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3.

Per risolvere il problema è richiesta la conoscenza della geometria spaziale, dell'algebra vettoriale, della trigonometria e dell'algebra. Risolvere il problema può essere utile per studenti e scolari che studiano questi argomenti nell'ambito dei corsi di geometria e matematica.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opzione 9 è un'attività matematica composta da tre numeri.

Nel primo numero vengono fornite le coordinate di quattro punti nello spazio tridimensionale ed è necessario creare equazioni per vari oggetti geometrici, come un piano, una linea retta, ecc. Devi anche trovare i valori di alcune funzioni trigonometriche.

Nel secondo numero, devi creare equazioni generali per una linea retta formata dall'intersezione di due piani.

Nel terzo numero devi trovare il valore del parametro C al quale i due piani dati saranno perpendicolari.

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