Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 8

Nr. 1.8. Es werden vier Punkte vergeben: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). Es müssen Gleichungen erstellt werden: a) Ebene A1A2A3; b) gerade A1A2; c) Gerade A4M, senkrecht zur Ebene A1A2A3; d) Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2; e) eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft.

Es müssen außerdem berechnet werden: e) der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

a) Um die Gleichung der Ebene A1A2A3 zu finden, ist es notwendig, die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene zu verwenden: Ax + By + Cz + D = 0. Zuerst finden wir die Vektoren A1A2 und A1A3:

A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)

Dann finden wir ihr Vektorprodukt:

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

Setzen wir nun die Koordinaten von Punkt A1 und Vektor n in die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene ein:

-6x - 10y + 12z + D = 0

D = 66 + 101 - 12*1 = 58

Die Gleichung der Ebene lautet A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0.

b) Um die Gleichung der Geraden A1A2 zu finden, muss die parametrische Form der Geradengleichung verwendet werden: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, wobei (a, b, c) ist der Richtungsvektor der Geraden.

Der Richtungsvektor der Geraden A1A2 ist gleich:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Dann hat die Gleichung der Geraden A1A2 die Form:

x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t

c) Um die Gleichung der Geraden A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3 zu finden, muss der Richtungsvektor dieser Geraden ermittelt werden, der orthogonal zum Vektor n ist, d. h.:

(à, b, c) * (-6, -10, 12) = 0

Daraus folgt, dass der Richtungsvektor der Geraden A4M die Form haben sollte:

(6, -3, -3)

Finden wir nun die Gleichung der Geraden A4M, wobei wir wissen, dass sie durch den Punkt A4(1;2;6) verläuft:

x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t

d) Die Linie A3N ist parallel zur Linie A1A2, daher muss ihr Richtungsvektor die gleiche Koordinatenschreibweise haben wie der Richtungsvektor der Linie A1A2:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Die Linie A3N verläuft durch den Punkt A3(4;2;0), daher hat ihre Gleichung die Form:

x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t

e) Um die Gleichung einer Ebene zu finden, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft, können Sie die Formel für die allgemeine Gleichung einer Ebene verwenden, ähnlich der Formel von Punkt a). Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

Der Richtungsvektor der gewünschten Ebene muss senkrecht zu diesem Vektor sein, Sie können also einen Vektor nehmen, der aus seinen Koordinaten mit einer Vorzeichenänderung von einem von ihnen erhalten wird, oder das Vektorprodukt zwischen ihm und dem Vektor nehmen, zum Beispiel (1 ,0,0):

(-5, -2, 2) oder (0, -5, 5)

Dann setzen wir die Koordinaten des Punktes A4 und den gefundenen Vektor in die Formel für die allgemeine Gleichung der Ebene ein:

-5x - 2y + 2z + D = 0 und 0x - 5y + 5z + D = 0

D = 51 - 52 + 5*6 = 23

Gleichung einer Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Linie A1A2 verläuft: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 oder 0x - 5y + 5z + 23 = 0.

e) Um den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 zu ermitteln, können Sie die Formel sin α = |n * l| verwenden / (|n| * |l|), wobei n der Normalenvektor zur Ebene und l der Richtungsvektor der Linie ist. Finden wir den Normalenvektor zur Ebene A1A2A3:

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A4:

A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)

Dann ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich:

sin α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13

g) Um den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3 zu ermitteln, können Sie die Formel cos α = |n * k| verwenden / (|n| * |k|), wobei n und k die Normalenvektoren zu den Ebenen sind. Der Normalenvektor zur Koordinatenebene Oxy hat die Form (0;0;1), und der Normalenvektor zur Ebene A1A2A3 wurde im Punkt a gefunden:

n = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)

Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gleich

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 8

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Version 8 ist ein digitales Produkt für Studierende, die Mathematik im Rahmen des Kurses „Einzelhausaufgaben“ studieren. Dieses Produkt enthält Version 8 von Aufgabe 3.1, entwickelt von A.P. Rjabuschko.

• Wird den Schülern helfen, das Kursmaterial „Einzelhausaufgaben“ besser zu verstehen;
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Tut mir leid, es sieht so aus, als hätten Sie eine Matheaufgabe mit Anweisungen zu deren Lösung eingefügt. Könnten Sie bitte Ihre Anfrage präzisieren oder zusätzlichen Kontext bereitstellen, damit ich besser verstehen kann, wie ich Ihnen helfen kann?

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 Option 8 ist eine Geometrieaufgabe, die mehrere Punkte umfasst:

1. Gleichungen finden: a) eine Ebene, die durch drei Punkte A1(6;1;1), A2(4;6;6) und A3(4;2;0) verläuft; b) eine Gerade, die durch die Punkte A1(6;1;1) und A2(4;6;6) verläuft; c) eine Gerade, die durch den Punkt A4(1;2;6) verläuft und senkrecht zu der Ebene steht, die durch die drei Punkte A1, A2 und A3 verläuft; d) eine gerade Linie parallel zur geraden Linie, die durch die Punkte A1 und A2 und durch Punkt A3 verläuft; e) eine Ebene, die durch Punkt A4 verläuft und senkrecht zu der Linie ist, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft.

2. Berechnung: f) der Sinus des Winkels zwischen der Geraden, die durch die Punkte A1(6;1;1) und A4(1;2;6) verläuft, und der Ebene, die durch die drei Punkte A1, A2 und A3 verläuft; g) der Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene, die durch drei Punkte A1, A2 und A3 verläuft.

3. Finden der Gleichung einer Ebene, die durch zwei parallele Geraden verläuft, und der Projektion des Punktes P(3;1;–1) auf diese Ebene.

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