IDZ Ryabushko 3.1 选项 7

1号。给定四个点 A1(5;5;4); A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1)。有必要创建方程：

a) 求向量 AB1 = A1 - A2 和 AC1 = A1 - A3：

AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)

然后 AB1 和 AC1 的矢量积将给出平面的法向矢量：

n1 = AB1 x AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)

现在我们用A1点的坐标来求出平面的系数D：

18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0

简化一下：

6x - 4y + 2z - 2 = 0

因此，平面 A1A2A3 的方程的形式为：6x - 4y + 2z - 2 = 0。

b) 利用直线参数方程可求出直线A1A2的方程：

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) 求直线 A4M 的向量，其中 M 是所需垂直线上的任意点。以 M(0;0;0) 为例：

AM = M - A4 = (-5; -8; 1) 那么所需矢量将等于 AM 在平面 A1A2A3 法向矢量上的投影：

n1 = (18;-12;8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)

那么所需直线的方程具有以下形式：

x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t

d) 由于直线 A3N 与直线 A1A2 平行，因此其方向向量将等于 AB1：

AB1 = (4; 6; 0)

我们用参数方程求直线 A3N 的方程：

x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1

e) 通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面的方程也可以找到平面 A1A2A3 的方程，使用法向量等于向量 A4A1 在直线所描述的平面上的投影A1A2：

AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)

proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)

那么所需平面的法向量将等于：

n2 = proj_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)

现在我们用A4点的坐标来求出平面的系数D：

(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0

简化一下：

-27x + 18y + 24z - 64 = 0

因此，所需平面的方程的形式为：-27x + 18y + 24z - 64 = 0。

f) 求直线A1A4的方向向量：

AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)

那么直线 A1A4 与平面 A1A2A3 之间的角度的正弦等于向量 AA4 在平面法向量上的投影除以向量 AA4 的模：

sin(角度) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / sqrt(0^2 + 3^2 + (-5)^2) / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -11/29

答案：sin(角度) = -11/29。

g) 求平面 A1A2A3 的法向量：

n1 = (18; -12; 8)

那么平面 A1A2A3 与坐标平面 Oxy 之间的夹角的余弦等于该平面法向量在 Ox 轴上的投影除以法向量的模：

cos(角度) = |proj_n1_Ox| / |n1| =|18| / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7

答案：cos（角度）= 3/7。

2号。需要为通过点 A(3;4;0) 的平面和由参数方程定义的直线创建方程：

x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t

让我们找到直线的方向向量：

v = (1;-2;3)

那么平面的法向量将垂直于向量 v，你可以通过与任意向量（例如向量 (1; 0; 0)）进行叉积来找到它：

n = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)

现在我们用A点的坐标来求出平面的系数D：

-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0

简化一下：

-2x - 3y - 2z + 18 = 0

因此，所需平面的方程的形式为：-2x - 3y - 2z + 18 = 0。

第三。需要找到参数方程指定的直线的交点：

x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t

且平面 2x + 3y + z - 1 = 0。

注意交点的坐标必须满足平面方程

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 7 是一个解决三维空间中与直线和平面相关的各种几何问题的任务。该任务给定三维空间中的四个点，要求创建穿过这些点或平行/垂直于它们的平面和直线的方程，以及计算之间角度的正弦和余弦值一些直线和平面。作业还给出了平面和直线的方程，并要求找到它们的交点。

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