IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 7

1番。 4 つの点 A1(5;5;4) が与えられるとします。 A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1)。方程式を作成する必要があります。

a) ベクトル AB1 = A1 - A2 および AC1 = A1 - A3 を求めます。

AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)

次に、AB1 と AC1 のベクトル積により、平面の法線ベクトルが得られます。

n1 = AB1 × AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)

次に、点 A1 の座標を代入して、平面の係数 D を求めてみましょう。

18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0

単純化すると次のようになります。

6x - 4y + 2z - 2 = 0

したがって、平面 A1A2A3 の方程式は、6x - 4y + 2z - 2 = 0 の形式になります。

b) 直線 A1A2 の方程式は、直線のパラメトリック方程式を使用して求めることができます。

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) 直線 A4M のベクトルを見つけます。ここで、M は目的の垂線上の任意の点です。たとえば、M(0;0;0) を考えてみましょう。

AM = M - A4 = (-5; -8; 1) この場合、目的のベクトルは、平面 A1A2A3 の法線ベクトルへの AM の投影と等しくなります。

n1 = (18; -12; 8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)

この場合、目的の直線の方程式は次の形式になります。

x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t

d) 直線 A3N は直線 A1A2 に平行であるため、その方向ベクトルは AB1 に等しくなります。

AB1 = (4; 6; 0)

パラメトリック方程式を使用して直線 A3N の方程式を見つけてみましょう。

x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は、線 A1A2 で表される平面へのベクトル A4A1 の投影に等しい法線ベクトルを使用して、平面 A1A2A3 の方程式としても求めることができます。

AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)

proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)

この場合、目的の平面の法線ベクトルは次のようになります。

n2 = proj_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)

次に、点 A4 の座標を代入して、平面の係数 D を求めてみましょう。

(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0

単純化すると次のようになります。

-27x + 18y + 24z - 64 = 0

したがって、目的の平面の方程式は、-27x + 18y + 24z - 64 = 0 の形式になります。

f) 直線 A1A4 の方向ベクトルを求めます。

AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)

この場合、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦は、ベクトル AA4 を平面の法線ベクトルに投影し、ベクトル AA4 の係数で割ったものに等しくなります。

sin(角度) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / sqrt(0^2 + 3^2 + (-5)^2) / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -11/29

答え: sin(角度) = -11/29。

g) 平面 A1A2A3 の法線ベクトルを見つけます。

n1 = (18; -12; 8)

次に、平面 A1A2A3 と座標平面 Oxy の間の角度の余弦は、平面の法線ベクトルを Ox 軸に投影し、法線ベクトルの係数で割ったものに等しくなります。

cos(角度) = |proj_n1_Ox| / |n1| = |18| / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7

答え: cos(角度) = 3/7。

2番。点 A(3;4;0) を通過する平面とパラメトリック方程式で定義される直線の方程式を作成する必要があります。

x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t

線の方向ベクトルを見つけてみましょう。

v = (1; -2; 3)

この場合、平面の法線ベクトルはベクトル v に垂直になり、任意のベクトル、たとえばベクトル (1; 0; 0) との外積を取ることでそれを見つけることができます。

n = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)

次に、点 A の座標を代入して、平面の係数 D を求めてみましょう。

-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0

単純化すると次のようになります。

-2x - 3y - 2z + 18 = 0

したがって、目的の平面の方程式は、-2x - 3y - 2z + 18 = 0 の形式になります。

3番。パラメトリック方程式で指定された線の交点を見つける必要があります。

x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t

平面 2x + 3y + z - 1 = 0。

交点の座標は平面方程式を満たす必要があることに注意してください。

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