IDZ Ryabushko 3.1 Option 7

Nr. 1. Gegeben sind vier Punkte A1(5;5;4); A2(1;–1;4); A3(3;5;1); A4(5;8;–1). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Finden Sie die Vektoren AB1 = A1 - A2 und AC1 = A1 - A3:

AB1 = (5-1; 5-(-1); 4-4) = (4; 6; 0) AC1 = (5-3; 5-5; 4-1) = (2; 0; 3)

Dann ergibt das Vektorprodukt von AB1 und AC1 den Normalenvektor der Ebene:

n1 = AB1 x AC1 = (63 - 00; 04 - 34; 42 - 60) = (18; -12; 8)

Jetzt ermitteln wir den Koeffizienten D der Ebene, indem wir die Koordinaten des Punktes A1 einsetzen:

18(x-5) - 12(y-5) + 8(z-4) = 0

Vereinfachen:

6x - 4y + 2z - 2 = 0

Somit hat die Gleichung der Ebene A1A2A3 die Form: 6x - 4y + 2z - 2 = 0.

b) Die Gleichung der Geraden A1A2 kann mithilfe der parametrischen Gleichung der Geraden ermittelt werden:

x = 5 - 4t y = 5 + 6t z = 4

c) Finden Sie den Vektor der Linie A4M, wobei M ein beliebiger Punkt auf der gewünschten Senkrechten ist. Nehmen wir zum Beispiel M(0;0;0):

AM = M - A4 = (-5; -8; 1) Dann ist der gewünschte Vektor gleich der Projektion von AM auf den Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8) proj_AMn1 = (AM * n1 / |n1|^2) * n1 = ((-518) + (-8(-12)) + (18)) / (18^2 + (-12)^2 + 8^2) * (18; -12; 8) = (-78/332)(18; -12; 8) = (-39/166; 13/83; -39/83)

Dann hat die Gleichung der gesuchten Geraden die Form:

x = 5 + (-39/166)t y = 8 + (13/83)t z = -1 + (-39/83)t

d) Da die Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2 ist, ist ihr Richtungsvektor gleich AB1:

AB1 = (4; 6; 0)

Finden wir die Gleichung der Geraden A3N mithilfe der parametrischen Gleichung:

x = 3 + 4t y = 5 + 6t z = 1

e) Die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 verläuft, kann auch als Gleichung der Ebene A1A2A3 ermittelt werden, wobei ein Normalenvektor verwendet wird, der der Projektion des Vektors A4A1 auf die durch die Gerade beschriebene Ebene entspricht A1A2:

AB2 = A2 - A1 = (-4; -6; 0) A4A1 = A1 - A4 = (0; -3; 5)

proj_A4A1n1 = (A4A1 * AB1 / |AB1|^2) * n1 = ((04) + (-36) + (5*0)) / (4^2 + 6^2 + 0^2) * (18; -12; 8) = (-54/52; 36/52; 24/13)

Dann ist der Normalenvektor der gewünschten Ebene gleich:

n2 = proj_A4A1n1 = (-54/52; 36/52; 24/13)

Jetzt ermitteln wir den Koeffizienten D der Ebene, indem wir die Koordinaten des Punktes A4 einsetzen:

(-54/52)(x-5) + (36/52)(y-8) + (24/13)(z+1) = 0

Vereinfachen:

-27x + 18y + 24z - 64 = 0

Somit hat die Gleichung der gewünschten Ebene die Form: -27x + 18y + 24z - 64 = 0.

f) Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden A1A4:

AA4 = A4 - A1 = (0; 3; -5)

Dann ist der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 gleich der Projektion des Vektors AA4 auf den Normalenvektor der Ebene, geteilt durch den Modul des Vektors AA4:

sin(Winkel) = |proj_AA4n1| / |AA4| = ((018) + (3(-12)) + ((-5)*8)) / sqrt(0^2 + 3^2 + (-5)^2) / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2 ) = -11/29

Antwort: sin(Winkel) = -11/29.

g) Finden Sie den Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n1 = (18; -12; 8)

Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen der Ebene A1A2A3 und der Koordinatenebene Oxy gleich der Projektion des Normalenvektors der Ebene auf die Ox-Achse, geteilt durch den Modul des Normalenvektors:

cos(Winkel) = |proj_n1_Ox| / |n1| = |18| / sqrt(18^2 + (-12)^2 + 8^2) = 3/7

Antwort: cos(Winkel) = 3/7.

Nr. 2. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt A(3;4;0) verläuft, und eine gerade Linie, die durch parametrische Gleichungen definiert ist:

x = 2 + t y = 3 - 2t z = 1 + 3t

Finden wir den Richtungsvektor der Linie:

v = (1; -2; 3)

Dann steht der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Vektor v und Sie können ihn finden, indem Sie das Kreuzprodukt mit einem beliebigen Vektor bilden, zum Beispiel mit dem Vektor (1; 0; 0):

n = v x (1; 0; 0) = (-2; -3; -2)

Lassen Sie uns nun den Koeffizienten D der Ebene ermitteln, indem wir die Koordinaten von Punkt A ersetzen:

-2(x-3) - 3(y-4) - 2z = 0

Vereinfachen:

-2x - 3y - 2z + 18 = 0

Somit hat die Gleichung der gewünschten Ebene die Form: -2x - 3y - 2z + 18 = 0.

Nr. 3. Es ist notwendig, den Schnittpunkt der durch die parametrischen Gleichungen angegebenen Geraden zu finden:

x = 2 + t y = 1 - 2t z = -1 + 3t

und Ebenen 2x + 3y + z - 1 = 0.

Beachten Sie, dass die Koordinaten des Schnittpunkts die Ebenengleichung erfüllen müssen

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 7 ist eine Aufgabe zur Lösung verschiedener geometrischer Probleme im Zusammenhang mit Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum. Die Aufgabe besteht aus vier Punkten im dreidimensionalen Raum, und es ist erforderlich, Gleichungen für Ebenen und Linien zu erstellen, die durch diese Punkte oder parallel/senkrecht zu ihnen verlaufen, sowie die Werte des Sinus und Cosinus der Winkel zwischen ihnen zu berechnen einige Linien und Flugzeuge. Die Aufgabe gibt auch eine Gleichung einer Ebene und einer Linie an und erfordert die Ermittlung ihres Schnittpunkts.

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