IDZ 6.3 – 选项 15。解决方案 Ryabushko A.P.

使用 L'Hopital 规则，需要找到指定的限制 (1-5)。要计算这些值并估计允许的相对误差（精确到小数点后两位），可以使用微分（1-2）。

让我们计算第一个极限： lim(x → ∞) xln(1+1/x) = lim(x → ∞) ln((1+1/x)^x) = ln(e) = 1

计算公式： lim(x → 0) (cosx)^x = exp(lim(x → 0) xln(cosx）） = exp(lim(x → 0) (ln(cosx))/(1/x) ) = exp(lim(x → 0) -(sinx/x)/(cosx)) = exp(lim(x → 0) -tanx/x) = 1

我们来计算第三个极限： lim(x → 0) (1-cosx)/(sin^2(x)) = lim(x → 0) (sinx/(sinx)cosx))(1-cosx)/(sinx)^2 = lim(x → 0) (1-cosx)/(sinx) * 1/cosx = lim(x → 0) tanx/x * 1/cosx = 1

我们来计算第四个极限： lim(x → 0) (1-cos(2x))/(x^2) = lim(x → 0) 2sin^2(x)/(x^2*(1+cos( 2x) )) = lim(x → 0) 2sin^2(x)/(x^2*(2cos^2(x))) = 1/2

我们来计算第五个极限： lim(x → 0) (sqrt(1+x)-1)/x = lim(x → 0) (sqrt(1+x)-1)(平方(1+x)+1)/(x(sqrt(1+x)+1)) = lim(x → 0) x/(x*(sqrt(1+x)+1)) = 1/2

要计算第六个表达式，可以使用微分： 6.15 √(2.037)2-3/(2.037)2+5 ≈ √(2.037+0.002)^2-3/(2.037+0.002)^2+5 ≈ √ (2.037^2 +20,0022.037)-3/2.037^2+5 ≈ √(4.150369)-3/2.037^2+5 ≈ 2.036 相对误差约为0.001。

要计算第七个表达式，还可以使用微分：7.15 log9.5 ≈ log10-0.05ln(10)/ln(2) ≈ 1-0.05*3.322/0.301 ≈ 0.722，相对误差约为 0.006。

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IDZ 6.3 – 选项 15 代表 A.P. Ryabushko 执行的问题的解决方案。产品描述包括两个任务。