IDZ 里亚布什科 2.1 选项 24

1号。我们来求向量a和b： a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n 还给出了常数的值：k = 2， ℓ = 11，φ = 3π/2，α = -5，β = -7，γ = -3，δ = 2，λ = -3，μ = 4，ν = -1，τ = 2。

а) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352

b) 求 ( ν a + τ b ) 在 b 上的投影： ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n 到另一个的投影向量向量等于该向量与该向量方向的单位向量的标量积，即： proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)

в) 单 cos( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1

2号。让我们找出向量 a、b、c 和 d： a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)

还给出了常数的值：A(4;3;2)、B(-4;-3;5)、C(6;4;-3)、α。

a) 向量 a 的模：|a| = sqrt((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = sqrt(109)

b) 向量 a 和 b 的标量积： a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29

c) 将向量 c 投影到向量 d 上： proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13

d) 分割线段ℓ的点M相对于α的坐标： AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = （-4α + 4；-3α + 3；3α + 2）

ℓ 没有给出，所以答案取决于 ℓ 的具体值。

第三。为了证明向量a、b和c构成基，必须证明它们是线性无关的，并且空间中的任何向量都可以表示为这些向量的线性组合。

让我们检查向量 a、b 和 c 的线性独立性。为此，我们创建方程 a x + b y + c z = 0 并证明其唯一解是 x = y = z = 0。

a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p；-q；2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p；5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q；x - y + 2z - u + v + 2p) = 0

这是一个具有三个未知数的三个方程组。应用高斯方法，我们得到唯一解 x = y = z = u = v = p = q = 0。这意味着向量 a、b 和 c 是线性独立的，即它们形成空间中的基。

现在让我们在此基础上找到向量 d 的坐标。为此，我们用向量 a、b 和 c 来表示向量 d：

d = α·a + β·b + γ·c

我们将已知值代入公式：

d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)

现在我们需要求解方程组：

-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13

应用高斯方法，我们得到解：α = 1，β = -4，γ = 3。这意味着向量 d 在基 {a, b, c} 中的坐标等于 (1; -4 ; 3).

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IDZ Ryabushko 2.1 选项 24 是一组线性代数问题，其中包括三个数字。

1号。在这个问题中你需要找到： a) 表达式 ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) 的值，它是向量 a 和 b 的两个线性组合的标量积； b) 将向量 ( ν·a + τ·b ) 投影到向量 b 上； c) cos(a + τ·b) 的值，其中 a 和 b 是给定向量。

要解决该问题，您需要使用标量积公式、一个向量到另一个向量的投影以及向量加法公式。作为初始数据，给出了计算中必须使用的系数 α、β、γ、δ、k、ℓ、φ、λ、μ、ν 和 τ。

2号。在这个问题中你需要找到： a)向量a的模； b) 向量 a 和 b 的标量积； c) 将向量 c 投影到向量 d 上； d) 以给定比例 α 划分线段 ℓ 的点 M 的坐标。

为了解决这个问题，您需要使用向量模、标量积、向量到另一个向量的投影公式，以及查找以给定比例划分线段的点的坐标的公式。初始数据是A、B、C点的坐标，以及计算所需的系数。

第三。在这道题中，你需要证明向量a、b、c构成一个基，并求出向量d在这个基上的坐标。

为了解决这个问题，你需要证明向量a、b、c是线性无关的，并且三维空间中的任何向量都可以表示为这些向量的线性组合。接下来，您需要使用查找线性组合系数的公式来查找向量 d 在基 a、b、c 中的坐标。初始数据是向量a、b、c和向量d，求解问题时必须使用它们。

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