N°1. Trouvons les vecteurs a et b : a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n Les valeurs des constantes sont également données : k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.
a) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352
b) Trouver la projection ( ν a + τ b ) sur b : ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Vecteur de projection vers un autre vecteur est égal au produit scalaire du vecteur par le vecteur unitaire de la direction de ce vecteur, soit : proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)
в) Cos unique ( a + τ·b ) : a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14 carrés (170)/1
N°2. Trouvons les vecteurs a, b, c et d : a = AB = B - A = (-8 ; -6 ; 3) b = AC = C - A = (2 ; 1 ; -5) c = [a, b] = a x b = (-27 ; 28 ; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4 ; 3 ; 2) - α(8 ; 6 ; -3)
Les valeurs des constantes sont également données : A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.
a) Module du vecteur a : |a| = carré((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = carré(109)
b) Produit scalaire des vecteurs a et b : a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29
c) Projection du vecteur c sur le vecteur d : proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13
d) Coordonnées du point M divisant le segment ℓ par rapport à α : AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4 ; 3 ; 2) + α(-8 ; -6 ; 3) = (-4α + 4 ; -3α + 3 ; 3α + 2)
ℓ n’est pas donné, la réponse dépend donc de la valeur spécifique de ℓ.
N ° 3. Pour prouver que les vecteurs a, b et c forment une base, il faut montrer qu’ils sont linéairement indépendants et que tout vecteur dans l’espace peut être exprimé comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.
Vérifions l'indépendance linéaire des vecteurs a, b et c. Pour ce faire, nous créons l’équation a x + b y + c z = 0 et montrons que sa seule solution est x = y = z = 0.
a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z ; 5x + 2y - 3z ; x - y + 2z) + (3u - 2v ; 2u - 3v ; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0
Il s'agit d'un système de trois équations à trois inconnues. En appliquant la méthode gaussienne, nous obtenons une solution unique x = y = z = u = v = p = q = 0. Cela signifie que les vecteurs a, b et c sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils forment une base dans l'espace.
Trouvons maintenant les coordonnées du vecteur d dans cette base. Pour ce faire, nous exprimons le vecteur d en termes de vecteurs a, b et c :
d = α·a + β·b + γ·c
Remplaçons les valeurs connues dans la formule :
d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)
Il nous faut maintenant résoudre le système d'équations :
-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13
En appliquant la méthode gaussienne, on obtient la solution : α = 1, β = -4, γ = 3. Cela signifie que les coordonnées du vecteur d dans la base {a, b, c} sont égales à (1 ; -4 ; 3).
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IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 est un ensemble de tâches pédagogiques pour les écoliers, développé par la maison d'édition "Ryabushko". Cette version contient 24 problèmes couvrant divers sujets du programme scolaire, notamment les mathématiques, la physique, la biologie et d'autres matières. L'ensemble IDZ est conçu pour permettre aux étudiants de travailler de manière autonome à la maison et aide à consolider les connaissances acquises, à développer la pensée logique et les compétences en résolution de problèmes. Le kit comprend des solutions étape par étape aux problèmes et aux réponses, ce qui permet à l'étudiant de vérifier de manière indépendante son travail et de corriger les erreurs. De plus, Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 peut être utilisé par l'enseignant pour tester les connaissances des élèves et se préparer aux tests.
IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 est un ensemble de problèmes d'algèbre linéaire, qui comprend trois nombres.
N°1. Dans ce problème, vous devez trouver : a) la valeur de l'expression ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), qui est le produit scalaire de deux combinaisons linéaires de vecteurs a et b ; b) projection du vecteur ( ν·a + τ·b ) sur le vecteur b ; c) la valeur de cos(a + τ·b), où a et b sont des vecteurs donnés.
Pour résoudre le problème, vous devez utiliser les formules du produit scalaire, la projection d'un vecteur sur un autre vecteur et la formule d'addition vectorielle. Comme données initiales, sont donnés les coefficients α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν et τ, qui doivent être utilisés dans les calculs.
N°2. Dans ce problème, vous devez trouver : a) module du vecteur a ; b) produit scalaire des vecteurs a et b ; c) projection du vecteur c sur le vecteur d ; d) coordonnées du point M qui divise le segment ℓ dans un rapport α donné.
Pour résoudre le problème, vous devez utiliser des formules pour le module d'un vecteur, le produit scalaire, la projection d'un vecteur sur un autre vecteur, ainsi que des formules pour trouver les coordonnées d'un point divisant un segment dans un rapport donné. Les données initiales sont les coordonnées des points A, B et C, ainsi que les coefficients nécessaires aux calculs.
N ° 3. Dans ce problème, vous devez prouver que les vecteurs a, b, c forment une base et trouver les coordonnées du vecteur d dans cette base.
Pour résoudre le problème, vous devez montrer que les vecteurs a, b, c sont linéairement indépendants et que tout vecteur dans l'espace tridimensionnel peut être représenté comme une combinaison linéaire de ces vecteurs. Ensuite, vous devez trouver les coordonnées du vecteur d dans la base a, b, c, en utilisant des formules pour trouver les coefficients d'une combinaison linéaire. Les données initiales sont les vecteurs a, b, c et le vecteur d, qui doivent être utilisés lors de la résolution du problème.
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Solution au problème 21.1.11 de la collection Kepe O.E. - 21.1.11 Однородный цилиндр массой 2 кг может катиться по горизонтальной плоскости. В положении стат ... ...