Nº 1. Vamos encontrar os vetores a e b: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n Os valores das constantes também são dados: k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.
a) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352
b) Encontre a projeção ( ν a + τ b ) em b: ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Vetor de projeção para outro vetor é igual ao produto escalar do vetor e o vetor unitário da direção deste vetor, ou seja: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)
в) Único cos( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14m²(170)/1
Nº 2. Vamos encontrar os vetores a, b, c e d: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)
Os valores das constantes também são dados: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.
a) Módulo do vetor a: |a| = quadrado((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = quadrado(109)
b) Produto escalar dos vetores aeb: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29
c) Projeção do vetor c no vetor d: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13
d) Coordenadas do ponto M que divide o segmento ℓ em relação a α: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)
ℓ não é fornecido, então a resposta depende do valor específico de ℓ.
N ° 3. Para provar que os vetores a, b e c formam uma base, é preciso mostrar que eles são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.
Vamos verificar a independência linear dos vetores a, b e c. Para fazer isso, criamos a equação a x + b y + c z = 0 e mostramos que sua única solução é x = y = z = 0.
a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0
Este é um sistema de três equações com três incógnitas. Aplicando o método gaussiano, obtemos uma solução única x = y = z = u = v = p = q = 0. Isso significa que os vetores a, b e c são linearmente independentes, ou seja, formam uma base no espaço.
Vamos agora encontrar as coordenadas do vetor d nesta base. Para fazer isso, expressamos o vetor d em termos dos vetores a, b e c:
d = α·a + β·b + γ·c
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)
Agora precisamos resolver o sistema de equações:
-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13
Aplicando o método gaussiano, obtemos a solução: α = 1, β = -4, γ = 3. Isso significa que as coordenadas do vetor d na base {a, b, c} são iguais a (1; -4 ;3).
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IDZ Ryabushko 2.1 Opção 24 é um complexo educacional e metodológico de preparação para o exame de matemática do 9º ano. O complexo foi desenvolvido pelo experiente professor V.P. Ryabushko e atende aos requisitos da Norma Educacional Estadual Federal.
O complexo apresenta materiais teóricos que permitem aos alunos estudar em profundidade e consolidar os principais tópicos da matemática. O complexo também contém tarefas de diversos níveis de dificuldade que ajudam os alunos a testar seus conhecimentos e se preparar para o exame.
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IDZ Ryabushko 2.1 Opção 24 é um conjunto de tarefas educacionais para crianças em idade escolar, desenvolvido pela editora "Ryabushko". Esta versão contém 24 problemas que abrangem diversos temas do currículo escolar, incluindo matemática, física, biologia e outras disciplinas. O conjunto IDZ foi concebido para que os alunos trabalhem de forma independente em casa e ajuda a consolidar os conhecimentos adquiridos, a desenvolver o pensamento lógico e a capacidade de resolução de problemas. O kit inclui soluções passo a passo de problemas e respostas, o que permite ao aluno verificar de forma independente seu trabalho e corrigir erros. Além disso, Ryabushko IDZ 2.1 Opção 24 pode ser usado pelo professor para testar o conhecimento dos alunos e se preparar para testes.
IDZ Ryabushko 2.1 Opção 24 é um conjunto de problemas de álgebra linear, que inclui três números.
Nº 1. Neste problema você precisa encontrar: a) o valor da expressão ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), que é o produto escalar de duas combinações lineares dos vetores a e b; b) projeção do vetor (ν·a + τ·b) sobre o vetor b; c) o valor de cos(a + τ·b), onde aeb são vetores dados.
Para resolver o problema, você precisa usar as fórmulas do produto escalar, a projeção de um vetor em outro vetor e a fórmula de adição de vetores. Como dados iniciais são dados os coeficientes α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν e τ, que devem ser utilizados nos cálculos.
Nº 2. Neste problema você precisa encontrar: a) módulo do vetor a; b) produto escalar dos vetores aeb; c) projeção do vetor c no vetor d; d) coordenadas do ponto M que divide o segmento ℓ numa dada razão α.
Para resolver o problema, é necessário usar fórmulas para o módulo de um vetor, produto escalar, projeção de um vetor em outro vetor, bem como fórmulas para encontrar as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma determinada proporção. Os dados iniciais são as coordenadas dos pontos A, B e C, bem como os coeficientes necessários para os cálculos.
N ° 3. Neste problema, você precisa provar que os vetores a, b, c formam uma base e encontrar as coordenadas do vetor d nesta base.
Para resolver o problema, é necessário mostrar que os vetores a, b, c são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser representado como uma combinação linear desses vetores. A seguir, você precisa encontrar as coordenadas do vetor d na base a, b, c, usando fórmulas para encontrar os coeficientes de uma combinação linear. Os dados iniciais são os vetores a, b, c e o vetor d, que devem ser utilizados na resolução do problema.
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Solução para o problema 21.1.11 da coleção de Kepe O.E. - 21.1.11 Однородный цилиндр массой 2 кг может катиться по горизонтальной плоскости. В положении стат ... ...