IDZ Ryabushko 2.1 옵션 24

1위. 벡터 a와 b를 찾아봅시다: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n 상수 값도 제공됩니다: k = 2, ℓ = 11, Φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.

а) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n), (11m - 2n) = -352

b) b에 대한 투영( ν a + τ b )을 찾습니다. ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n 다른 벡터로의 투영 벡터 벡터는 벡터와 이 벡터 방향의 단위 벡터의 스칼라 곱과 같습니다. 즉: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)

в) 단일 cos( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1

2번. 벡터 a, b, c 및 d를 찾아보겠습니다. a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)

상수 값도 제공됩니다: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.

a) 벡터 a의 계수: |a| = sqrt((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = sqrt(109)

b) 벡터 a와 b의 스칼라 곱: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29

c) 벡터 c를 벡터 d로 투영: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13

d) α를 기준으로 세그먼트 ℓ를 나누는 점 M의 좌표: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)

ℓ이 주어지지 않으므로 답은 ℓ의 구체적인 값에 따라 달라집니다.

3번. 벡터 a, b, c가 기저를 형성한다는 것을 증명하려면 이들이 선형 독립이고 공간의 모든 벡터가 이들 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 보여야 합니다.

벡터 a, b, c의 선형 독립성을 확인해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 방정식 a x + b y + c z = 0을 만들고 유일한 해는 x = y = z = 0임을 보여줍니다.

a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0

이것은 3개의 미지수를 갖는 3개의 방정식으로 구성된 시스템입니다. 가우시안 방법을 적용하면 고유한 해 x = y = z = u = v = p = q = 0을 얻을 수 있습니다. 이는 벡터 a, b 및 c가 선형적으로 독립적이라는 것을 의미합니다. 즉, 공간에서 기초를 형성합니다.

이제 이를 기반으로 벡터 d의 좌표를 찾아보겠습니다. 이를 위해 벡터 d를 벡터 a, b 및 c로 표현합니다.

d = α·a + β·b + γ·c

알려진 값을 공식으로 대체해 보겠습니다.

d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)

이제 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13

가우스 방법을 적용하면 α = 1, β = -4, γ = 3이라는 해를 얻습니다. 이는 기저 {a, b, c}에서 벡터 d의 좌표가 (1; -4와 같음을 의미합니다) ; 삼).

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IDZ Ryabushko 2.1 옵션 24는 세 개의 숫자를 포함하는 선형 대수학 문제 세트입니다.

1위. 이 문제에서는 다음을 찾아야 합니다. a) 벡터 a와 b의 두 선형 조합의 스칼라 곱인 식 ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b )의 값; b) 벡터( ν·a + τ·b )를 벡터 b에 투영하는 단계; c) cos(a + τ·b)의 값, 여기서 a와 b는 벡터로 제공됩니다.

문제를 해결하려면 스칼라 곱 공식, 벡터를 다른 벡터에 투영하는 공식, 벡터 덧셈 공식을 사용해야 합니다. 초기 데이터로 계수 α, β, γ, δ, k, ℓ, ψ, λ, μ, ν 및 τ가 제공되며 이는 계산에 사용해야 합니다.

2번. 이 문제에서는 다음을 찾아야 합니다. a) 벡터 a의 계수; b) 벡터 a와 b의 스칼라 곱; c) 벡터 c를 벡터 d로 투영하는 단계; d) 주어진 비율 α에서 세그먼트 ℓ를 나누는 점 M의 좌표.

문제를 해결하려면 벡터 모듈러스, 스칼라 곱, 벡터를 다른 벡터로 투영하는 공식뿐만 아니라 주어진 비율로 세그먼트를 나누는 점의 좌표를 찾는 공식을 사용해야 합니다. 초기 데이터는 A, B, C 지점의 좌표와 계산에 필요한 계수입니다.

3번. 이 문제에서는 벡터 a, b, c가 기저를 형성함을 증명하고 이 기저에서 벡터 d의 좌표를 구해야 합니다.

문제를 해결하려면 벡터 a, b, c가 선형독립이고 3차원 공간의 모든 벡터가 이들 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있음을 보여야 합니다. 다음으로, 선형 조합의 계수를 찾는 공식을 사용하여 기저 a, b, c에서 벡터 d의 좌표를 찾아야 합니다. 초기 데이터는 벡터 a, b, c 및 벡터 d이며, 이는 문제를 풀 때 사용해야 합니다.

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