IDZ Ryabushko 2.1 Επιλογή 24

Νο. 1. Ας βρούμε τα διανύσματα a και b: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n Δίνονται επίσης οι τιμές των σταθερών: k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.

а) Найдем ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = (15m - 17n)·(11m - 2n) = -352

β) Να βρείτε την προβολή ( ν a + τ b ) στο b: ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Διάνυσμα προβολής σε άλλο διάνυσμα είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος και το μοναδιαίο διάνυσμα της κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος, δηλ.: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |β| = (-23/13)(-3m + 2n)

β) Μονό cos( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1

Νο 2. Ας βρούμε τα διανύσματα a, b, c και d: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)

Δίνονται επίσης οι τιμές των σταθερών: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.

α) Συντελεστής του διανύσματος a: |a| = sqrt((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = sqrt(109)

β) Βαθμιακό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29

γ) Προβολή του διανύσματος c στο διάνυσμα d: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13

δ) Συντεταγμένες του σημείου M που διαιρεί το τμήμα ℓ σε σχέση με το α: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)

Το ℓ δεν δίνεται, επομένως η απάντηση εξαρτάται από τη συγκεκριμένη τιμή του ℓ.

Νο 3. Για να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα a, b και c αποτελούν βάση, πρέπει να δείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ότι οποιοδήποτε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων.

Ας ελέγξουμε τη γραμμική ανεξαρτησία των διανυσμάτων a, b και c. Για να γίνει αυτό, δημιουργούμε την εξίσωση a x + b y + c z = 0 και δείχνουμε ότι η μόνη της λύση είναι x = y = z = 0.

a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0

Αυτό είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο Gauss, λαμβάνουμε μια μοναδική λύση x = y = z = u = v = p = q = 0. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα a, b και c είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή αποτελούν βάση στο χώρο.

Ας βρούμε τώρα τις συντεταγμένες του διανύσματος d σε αυτή τη βάση. Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε το διάνυσμα d ως προς τα διανύσματα a, b και c:

d = α·a + β·b + γ·c

Ας αντικαταστήσουμε τις γνωστές τιμές στον τύπο:

d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2γ)

Τώρα πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων:

-2α + 3β + 4γ = -4 5α + 2β - 3γ = 22 α - β + 2γ = -13

Εφαρμόζοντας τη μέθοδο Gauss, παίρνουμε τη λύση: α = 1, β = -4, γ = 3. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος d στη βάση {a, b, c} είναι ίσες με (1; -4 ; 3).

Καλώς ήρθατε στο κατάστημα ψηφιακών ειδών μας! Είμαστε στην ευχάριστη θέση να σας παρουσιάσουμε το προϊόν "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24" - αυτό είναι ένα μοναδικό ψηφιακό προϊόν που παρέχει εργασίες για ανεξάρτητη εργασία στα μαθηματικά.

Στο προϊόν "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24" θα βρείτε μια ποικιλία εργασιών που θα σας βοηθήσουν να αναπτύξετε τις δεξιότητές σας στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και να προετοιμαστείτε για την εξέταση. Όλες οι εργασίες διατυπώνονται ξεκάθαρα και κατανοητά και οι απαντήσεις σε αυτές παρουσιάζονται σε λεπτομερή λύση.

Το προϊόν μας "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24" έχει μια βολική σχεδίαση html, η οποία σας επιτρέπει να βρίσκετε εύκολα και γρήγορα τις πληροφορίες που χρειάζεστε. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το προϊόν μας τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και για προετοιμασία για μαθήματα με δάσκαλο.

Με την αγορά του προϊόντος "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24", λαμβάνετε ένα ψηφιακό προϊόν υψηλής ποιότητας που θα σας βοηθήσει να αντιμετωπίσετε με επιτυχία μαθηματικά προβλήματα και θα αυξήσετε το επίπεδο γνώσεών σας σε αυτόν τον τομέα. Μη χάσετε την ευκαιρία να αγοράσετε το προϊόν μας και να πετύχετε τις σπουδές σας!

Το προϊόν "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24" είναι ένα ψηφιακό προϊόν που περιέχει μια ποικιλία μαθηματικών εργασιών για ανεξάρτητη εργασία. Παρουσιάζει σαφείς και κατανοητές διατυπώσεις προβλημάτων, καθώς και λεπτομερείς λύσεις σε αυτά. Το προϊόν έχει βολικό σχεδιασμό html, που διευκολύνει την εύρεση των απαραίτητων πληροφοριών.

Αγοράζοντας το προϊόν "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24", έχετε την ευκαιρία να εξασκήσετε τις δεξιότητές σας στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και να προετοιμαστείτε για την εξέταση. Αυτό το προϊόν μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και ως πρόσθετο υλικό για μαθήματα με δάσκαλο.

Το προϊόν "IDZ Ryabushko 2.1 Option 24" είναι μια υψηλής ποιότητας και χρήσιμη πηγή για όσους θέλουν να μάθουν με επιτυχία μαθηματικά. Με την αγορά του, έχετε την ευκαιρία να αυξήσετε το επίπεδο γνώσεών σας σε αυτόν τον τομέα και να αντιμετωπίσετε με επιτυχία μαθηματικά προβλήματα.

***

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι ένα εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για την προετοιμασία για τις εξετάσεις μαθηματικών στην τάξη 9. Το συγκρότημα αναπτύχθηκε από τον έμπειρο δάσκαλο V.P. Ryabushko και πληροί τις απαιτήσεις του ομοσπονδιακού κρατικού εκπαιδευτικού προτύπου.

Το συγκρότημα παρουσιάζει θεωρητικό υλικό που επιτρέπει στους μαθητές να μελετήσουν σε βάθος και να εμπεδώσουν τα κύρια θέματα των μαθηματικών. Το συγκρότημα περιέχει επίσης εργασίες διαφόρων επιπέδων δυσκολίας που βοηθούν τους μαθητές να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους και να προετοιμαστούν για τις εξετάσεις.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για ανεξάρτητη προετοιμασία όσο και για εργασία με δάσκαλο. Το συγκρότημα είναι ένας αξιόπιστος βοηθός για όσους θέλουν να περάσουν με επιτυχία τις εξετάσεις μαθηματικών της 9ης τάξης.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι ένα σύνολο εκπαιδευτικών εργασιών για μαθητές σχολείου, που αναπτύχθηκε από τον εκδοτικό οίκο "Ryabushko". Αυτή η έκδοση περιέχει 24 προβλήματα που καλύπτουν διάφορα θέματα από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών, της φυσικής, της βιολογίας και άλλων θεμάτων. Το σετ IDZ έχει σχεδιαστεί για τους μαθητές να εργάζονται ανεξάρτητα στο σπίτι και βοηθά στην εδραίωση της αποκτηθείσας γνώσης, στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης και των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Το κιτ περιλαμβάνει βήμα προς βήμα λύσεις σε προβλήματα και απαντήσεις, που επιτρέπουν στον μαθητή να ελέγχει ανεξάρτητα την εργασία του και να διορθώνει τα λάθη. Επιπλέον, το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τον δάσκαλο για να ελέγξει τις γνώσεις των μαθητών και να προετοιμαστεί για τεστ.

IDZ Ryabushko 2.1 Η επιλογή 24 είναι ένα σύνολο προβλημάτων στη γραμμική άλγεβρα, το οποίο περιλαμβάνει τρεις αριθμούς.

Νο. 1. Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε: α) την τιμή της παράστασης ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), η οποία είναι το κλιμακωτό γινόμενο δύο γραμμικών συνδυασμών διανυσμάτων a και b. β) προβολή του διανύσματος ( ν·a + τ·b ) στο διάνυσμα b; γ) την τιμή του cos(a + τ·b), όπου a και b δίνονται διανύσματα.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους για το βαθμωτό γινόμενο, την προβολή ενός διανύσματος σε άλλο διάνυσμα και τον τύπο προσθήκης διανύσματος. Ως αρχικά δεδομένα δίνονται οι συντελεστές α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν και τ, οι οποίοι πρέπει να χρησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς.

Νο 2. Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε: α) μέτρο του διανύσματος a; β) κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b. γ) προβολή του διανύσματος c στο διάνυσμα d. δ) συντεταγμένες του σημείου M που διαιρεί το τμήμα ℓ σε δεδομένο λόγο α.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τύπους για το συντελεστή ενός διανύσματος, βαθμωτό γινόμενο, προβολή ενός διανύσματος σε άλλο διάνυσμα, καθώς και τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου που διαιρεί ένα τμήμα σε μια δεδομένη αναλογία. Τα αρχικά δεδομένα είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ, καθώς και οι απαραίτητοι συντελεστές για τους υπολογισμούς.

Νο 3. Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να αποδείξετε ότι τα διανύσματα a, b, c σχηματίζουν μια βάση και να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος d σε αυτή τη βάση.

Για να λύσετε το πρόβλημα, πρέπει να δείξετε ότι τα διανύσματα a, b, c είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ότι οποιοδήποτε διάνυσμα στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων. Στη συνέχεια, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος d στη βάση a, b, c, χρησιμοποιώντας τύπους για την εύρεση των συντελεστών ενός γραμμικού συνδυασμού. Τα αρχικά δεδομένα είναι τα διανύσματα a, b, c και το διάνυσμα d, τα οποία πρέπει να χρησιμοποιηθούν κατά την επίλυση του προβλήματος.

***

1. Μια πολύ βολική μορφή εργασιών στο Ryabushko IDZ 2.1 Option 24, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς τι απαιτείται από τον μαθητή.
2. Το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 με βοηθά να δοκιμάσω τις γνώσεις του παιδιού μου στο σπίτι.
3. Μια εξαιρετική επιλογή για προετοιμασία για εξετάσεις, το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 περιέχει όλα τα απαραίτητα θέματα.
4. Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι καλά δομημένο και οργανωμένο, γεγονός που διευκολύνει τη διαδικασία εκμάθησης.
5. Οι εργασίες στο Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 είναι ενδιαφέρουσες και συναρπαστικές, το παιδί μου τις λύνει με ευχαρίστηση.
6. Το κόστος του Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 είναι κάτι παραπάνω από δικαιολογημένο, δεδομένης της χρησιμότητας και της διαθεσιμότητάς του.
7. Το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 με βοηθά να παρακολουθώ την πρόοδο του παιδιού μου και να εντοπίσω τις αδυναμίες στη γνώση.
8. Μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές με διαφορετικά επίπεδα δεξιοτήτων, το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24 παρέχει εργασίες για διάφορα επίπεδα δυσκολίας.
9. Το Ryabushko IDZ 2.1 Η επιλογή 24 είναι χρήσιμη για αυτοδιδασκαλία, η οποία είναι ιδιαίτερα σημαντική σε συνθήκες εξ αποστάσεως εκπαίδευσης.
10. Το Ryabushko IDZ 2.1 Επιλογή 24 περιέχει λεπτομερείς και κατανοητές εξηγήσεις για τις εργασίες, γεγονός που απλοποιεί τη διαδικασία εκμάθησης.

Ιδιαιτερότητες:

Εξαιρετική ποιότητα εργασιών στο IDZ 2.1 Option 24 του Ryabushko!

Σας ευχαριστούμε για την τόσο βολική ψηφιακή μορφή του IDS Ryabushko 2.1 Option 24.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα το υλικό.

Η γρήγορη πρόσβαση στο IDD 2.1 Option 24 του Ryabushko έκανε τις σπουδές μου πιο αποτελεσματικές.

Σας ευχαριστούμε για μια τόσο βολική τιμή για το Ryabushko IDZ 2.1 Option 24.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 με βοήθησε να προετοιμαστώ για την εξέταση.

Ένα πολύ χρήσιμο ψηφιακό προϊόν - IDZ Ryabushko 2.1 Επιλογή 24.

Σας ευχαριστούμε για μια τέτοια ποικιλία εργασιών στην Επιλογή 24 IDZ 2.1 του Ryabushko.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι ένα εξαιρετικό εργαλείο για ανεξάρτητη εργασία.

Σας ευχαριστούμε για τη γρήγορη παράδοση του IDS Ryabushko 2.1 Option 24 σε ψηφιακή μορφή.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι μια εξαιρετική επιλογή για την προετοιμασία για τις εξετάσεις!

Με τη βοήθεια του Ryabushko 2.1 Option 24, επανέλαβα εύκολα και έφτιαξα το υλικό.

Προτείνω το Ryabushko 2.1 Επιλογή 24 σε όλους τους μαθητές που θέλουν να περάσουν με επιτυχία την εξέταση.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν για την προετοιμασία για τις εξετάσεις μαθηματικών.

Είμαι χαρούμενος που αγόρασα το Ryabushko 2.1 Option 24 - με βοήθησε να βελτιώσω τα αποτελέσματά μου στις εξετάσεις.

Το IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 είναι ένας βολικός και οικονομικός τρόπος προετοιμασίας για τις εξετάσεις μαθηματικών.

Είμαι πολύ ευχαριστημένος με την αγορά του Ryabushko 2.1 Option 24 IDZ - με βοήθησε να βελτιώσω σημαντικά τις γνώσεις μου στα μαθηματικά.