Nr. 1. Finden wir die Vektoren a und b: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n Die Werte der Konstanten sind ebenfalls angegeben: k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.
a) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352
b) Finden Sie die Projektion ( ν·a + τ·b ) auf b: ( ν·a + τ·b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Der Projektionsvektor auf einen anderen Vektor ist gleich dem Skalarprodukt des Vektors und dem Einheitsvektor der Richtung dieses Vektors, d. h.: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/|b| = (-23/13)(-3m + 2n)
в) Einzelner cos( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1
Nr. 2. Finden wir die Vektoren a, b, c und d: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)
Die Werte der Konstanten sind ebenfalls angegeben: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.
a) Modul des Vektors a: |a| = sqrt((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = sqrt(109)
b) Skalarprodukt der Vektoren a und b: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29
c) Projektion des Vektors c auf den Vektor d: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13
d) Koordinaten des Punktes M, der das Segment ℓ in Bezug auf α teilt: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)
ℓ ist nicht angegeben, daher hängt die Antwort vom spezifischen Wert von ℓ ab.
Nr. 3. Um zu beweisen, dass die Vektoren a, b und c eine Basis bilden, muss man zeigen, dass sie linear unabhängig sind und dass jeder Vektor im Raum als lineare Kombination dieser Vektoren ausgedrückt werden kann.
Überprüfen wir die lineare Unabhängigkeit der Vektoren a, b und c. Dazu erstellen wir die Gleichung a x + b y + c z = 0 und zeigen, dass ihre einzige Lösung x = y = z = 0 ist.
a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0
Dies ist ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Mit der Gaußschen Methode erhalten wir eine eindeutige Lösung x = y = z = u = v = p = q = 0. Das bedeutet, dass die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind, das heißt, sie bilden eine Basis im Raum.
Finden wir nun die Koordinaten des Vektors d in dieser Basis. Dazu drücken wir den Vektor d durch die Vektoren a, b und c aus:
d = α·a + β·b + γ·c
Ersetzen wir die bekannten Werte in die Formel:
d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)
Jetzt müssen wir das Gleichungssystem lösen:
-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13
Mit der Gaußschen Methode erhalten wir die Lösung: α = 1, β = -4, γ = 3. Das bedeutet, dass die Koordinaten des Vektors d in der Basis {a, b, c} gleich (1; -4) sind ; 3).
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IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 ist ein pädagogischer und methodischer Komplex zur Vorbereitung auf die Mathematikprüfung in der 9. Klasse. Der Komplex wurde vom erfahrenen Lehrer V. P. Ryabushko entwickelt und entspricht den Anforderungen des Landesbildungsstandards.
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IDZ Ryabushko 2.1 Option 24 ist eine Reihe von Problemen in der linearen Algebra, die drei Zahlen umfassen.
Nr. 1. In diesem Problem müssen Sie Folgendes finden: a) der Wert des Ausdrucks ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), der das Skalarprodukt zweier Linearkombinationen der Vektoren a und b ist; b) Projektion des Vektors ( ν·a + τ·b ) auf den Vektor b; c) der Wert von cos(a + τ·b), wobei a und b gegebene Vektoren sind.
Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Formeln für das Skalarprodukt, die Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor und die Vektoradditionsformel verwenden. Als Ausgangsdaten werden die Koeffizienten α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν und τ angegeben, die in den Berechnungen verwendet werden müssen.
Nr. 2. In diesem Problem müssen Sie Folgendes finden: a) Modul des Vektors a; b) Skalarprodukt der Vektoren a und b; c) Projektion des Vektors c auf den Vektor d; d) Koordinaten des Punktes M, der das Segment ℓ in einem gegebenen Verhältnis α teilt.
Um das Problem zu lösen, müssen Sie Formeln für den Modul eines Vektors, ein Skalarprodukt, eine Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor sowie Formeln zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes verwenden, der ein Segment in einem bestimmten Verhältnis teilt. Die Ausgangsdaten sind die Koordinaten der Punkte A, B und C sowie die für die Berechnungen notwendigen Koeffizienten.
Nr. 3. In diesem Problem müssen Sie beweisen, dass die Vektoren a, b, c eine Basis bilden, und die Koordinaten des Vektors d in dieser Basis ermitteln.
Um das Problem zu lösen, müssen Sie zeigen, dass die Vektoren a, b, c linear unabhängig sind und dass jeder Vektor im dreidimensionalen Raum als lineare Kombination dieser Vektoren dargestellt werden kann. Als nächstes müssen Sie die Koordinaten des Vektors d in der Basis a, b, c ermitteln, indem Sie Formeln zum Ermitteln der Koeffizienten einer Linearkombination verwenden. Die Ausgangsdaten sind die Vektoren a, b, c und d, die bei der Lösung des Problems verwendet werden müssen.
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Lösung für Aufgabe 21.1.11 aus der Sammlung von Kepe O.E. - 21.1.11 Однородный цилиндр массой 2 кг может катиться по горизонтальной плоскости. В положении стат ... ...