IDZ Ryabushko 2.1 Opción 24

N° 1. Encontremos los vectores a y b: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n También se dan los valores de las constantes: k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.

a) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352

b) Encuentre la proyección ( ν a + τ b ) sobre b: ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Vector de proyección a otro vector es igual al producto escalar del vector y el vector unitario de la dirección de este vector, es decir: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)

в) Cos simple( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1

No. 2. Encontremos los vectores a, b, c y d: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)

También se dan los valores de las constantes: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.

a) Módulo del vector a: |a| = raíz cuadrada ((-8) ^ 2 + (-6) ^ 2 + 3 ^ 2) = raíz cuadrada (109)

b) Producto escalar de los vectores a y b: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29

c) Proyección del vector c sobre el vector d: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13

d) Coordenadas del punto M que divide el segmento ℓ con respecto a α: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)

ℓ no se da, por lo que la respuesta depende del valor específico de ℓ.

Numero 3. Para demostrar que los vectores a, b y c forman una base, se debe demostrar que son linealmente independientes y que cualquier vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores.

Comprobemos la independencia lineal de los vectores a, b y c. Para hacer esto, creamos la ecuación a x + b y + c z = 0 y demostramos que su única solución es x = y = z = 0.

a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Aplicando el método gaussiano obtenemos una solución única x = y = z = u = v = p = q = 0. Esto significa que los vectores a, b y c son linealmente independientes, es decir, forman una base en el espacio.

Encontremos ahora las coordenadas del vector d en esta base. Para ello, expresamos el vector d en términos de los vectores a, b y c:

d = α·a + β·b + γ·c

Sustituyamos los valores conocidos en la fórmula:

d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)

Ahora necesitamos resolver el sistema de ecuaciones:

-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13

Aplicando el método gaussiano obtenemos la solución: α = 1, β = -4, γ = 3. Esto significa que las coordenadas del vector d en la base {a, b, c} son iguales a (1; -4 ; 3).

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IDZ Ryabushko 2.1 Opción 24 es un conjunto de tareas educativas para escolares, desarrollado por la editorial "Ryabushko". Esta versión contiene 24 problemas que cubren diversos temas del plan de estudios escolar, incluidas matemáticas, física, biología y otras materias. El conjunto IDZ está diseñado para que los estudiantes trabajen de forma independiente en casa y ayuda a consolidar los conocimientos adquiridos, desarrollar el pensamiento lógico y las habilidades de resolución de problemas. El kit incluye soluciones paso a paso a problemas y respuestas, lo que permite al alumno comprobar de forma independiente su trabajo y corregir errores. Además, el profesor puede utilizar Ryabushko IDZ 2.1 Opción 24 para evaluar los conocimientos de los estudiantes y prepararse para los exámenes.

IDZ Ryabushko 2.1 Opción 24 es un conjunto de problemas de álgebra lineal, que incluye tres números.

N° 1. En este problema necesitas encontrar: a) el valor de la expresión ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), que es el producto escalar de dos combinaciones lineales de vectores a y b; b) proyección del vector ( ν·a + τ·b ) sobre el vector b; c) el valor de cos(a + τ·b), donde a y b son vectores dados.

Para resolver el problema, debes usar las fórmulas del producto escalar, la proyección de un vector sobre otro vector y la fórmula de la suma de vectores. Como datos de partida se dan los coeficientes α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν y τ, que deben utilizarse en los cálculos.

No. 2. En este problema necesitas encontrar: a) módulo del vector a; b) producto escalar de los vectores a y b; c) proyección del vector c sobre el vector d; d) coordenadas del punto M que divide el segmento ℓ en una relación dada α.

Para resolver el problema, es necesario utilizar fórmulas para el módulo de un vector, producto escalar, proyección de un vector sobre otro vector, así como fórmulas para encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento en una proporción determinada. Los datos iniciales son las coordenadas de los puntos A, B y C, así como los coeficientes necesarios para los cálculos.

Numero 3. En este problema, debes demostrar que los vectores a, b, c forman una base y encontrar las coordenadas del vector d en esta base.

Para resolver el problema, es necesario demostrar que los vectores a, b, c son linealmente independientes y que cualquier vector en el espacio tridimensional se puede representar como una combinación lineal de estos vectores. A continuación, debe encontrar las coordenadas del vector d en la base a, b, c, usando fórmulas para encontrar los coeficientes de una combinación lineal. Los datos iniciales son los vectores a, b, cy el vector d, que deben utilizarse al resolver el problema.

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