IDZ リャブシュコ 2.1 オプション 24

1番。ベクトル a と b を見つけてみましょう: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n 定数の値も与えられます: k = 2、 ℓ = 11、φ = 3π/2、α = -5、β = -7、γ = -3、δ = 2、λ = -3、μ = 4、ν = -1、τ = 2。

а) Найдем ( λ・a + μ・b );( ν・a + τ・b ): λ・a + μ・b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν・a + τ・b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ・a + μ・b )・( ν・a + τ・b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352

b) b への射影 ( ν a + τ b ) を見つけます: ( ν a + τ b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n 別のベクトルへの射影ベクトルベクトルは、ベクトルとこのベクトルの方向の単位ベクトルのスカラー積に等しくなります。つまり、proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/ |b| = (-23/13)(-3m + 2n)

в) 単一 cos( a + τ・b ): a + τ・b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ・b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arccos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14sqrt(170)/1

2番。ベクトル a、b、c、d を見つけてみましょう: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α・(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)

定数の値も指定されます: A(4;3;2)、B(-4;-3;5)、C(6;4;-3)、α。

a) ベクトル a の係数: |a| = sqrt((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = sqrt(109)

b) ベクトル a と b のスカラー積: a・b = (-8・2) + (-6・1) + (3・(-5)) = -29

c) ベクトル c のベクトル d への射影: proj_d(c) = (c・d)/|d|^2 = ((-27・(-4α)) + (28・6α) + (2・(-3α) ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13

d) 線分 ℓ を分割する点 M のαに関する座標： AM/AB = α/1 M = A + α・AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)

ℓ が与えられていないため、答えは ℓ の具体的な値によって異なります。

3番。ベクトル a、b、c が基底を形成していることを証明するには、それらが線形独立であること、および空間内の任意のベクトルがこれらのベクトルの線形結合として表現できることを示さなければなりません。

ベクトル a、b、c の線形独立性を確認してみましょう。これを行うには、方程式 a x + b y + c z = 0 を作成し、その唯一の解が x = y = z = 0 であることを示します。

a・x + b・y + c・z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0

これは、3 つの未知数を含む 3 つの方程式系です。ガウス法を適用すると、一意の解 x = y = z = u = v = p = q = 0 が得られます。これは、ベクトル a、b、c が線形独立であること、つまり、空間内の基底を形成することを意味します。

この基底でベクトル d の座標を求めてみましょう。これを行うには、ベクトル d をベクトル a、b、c で​​表現します。

d = α・a + β・b + γ・c

既知の値を式に代入してみましょう。

d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)

ここで、連立方程式を解く必要があります。

-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13

ガウス法を適用すると、α = 1、β = -4、γ = 3 という解が得られます。これは、基底 {a, b, c} 内のベクトル d の座標が (1; -4) に等しいことを意味します。 ; 3)。

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IDZ Ryabushko 2.1 オプション 24 は、3 つの数値を含む線形代数の問題のセットです。

1番。この問題では、以下を見つける必要があります。 a) 式 ( λ・a + μ・b )・( ν・a + τ・b ) の値。これはベクトル a と b の 2 つの線形結合のスカラー積です。 b) ベクトル ( ν・a + τ・b ) のベクトル b への射影。 c) cos(a + τ・b) の値。ここで、a と b は指定されたベクトルです。

この問題を解決するには、スカラー積の公式、ベクトルの別のベクトルへの射影、およびベクトル加算公式を使用する必要があります。初期データとして、計算に使用する係数 α、β、γ、δ、k、ℓ、φ、λ、μ、ν、τ が与えられます。

2番。この問題では、以下を見つける必要があります。 a) ベクトル a の係数。 b) ベクトル a と b のスカラー積。 c) ベクトル c のベクトル d への射影。 d) セグメント ℓ を所定の比率 α で分割する点 M の座標。

この問題を解決するには、ベクトルの係数、スカラー積、ベクトルの別のベクトルへの射影の式、およびセグメントを指定された比率で分割する点の座標を見つける式を使用する必要があります。初期データは点A、B、Cの座標と計算に必要な係数です。

3番。この問題では、ベクトル a、b、c が基底を形成することを証明し、この基底におけるベクトル d の座標を見つける必要があります。

この問題を解決するには、ベクトル a、b、c が線形独立であり、3 次元空間内の任意のベクトルがこれらのベクトルの線形結合として表現できることを示す必要があります。次に、線形結合の係数を求める公式を使用して、基底 a、b、c 内のベクトル d の座標を見つける必要があります。初期データはベクトル a、b、c、およびベクトル d であり、問​​題を解くときに使用する必要があります。

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