N. 1. Troviamo i vettori a e b: a = α m + β n = -5 m - 7 n b = γ m + δ n = -3 m + 2 n Vengono inoltre forniti i valori delle costanti: k = 2, ℓ = 11, φ = 3π/2, α = -5, β = -7, γ = -3, δ = 2, λ = -3, μ = 4, ν = -1, τ = 2.
а) Найдем ( λ·a + μ·b );( ν·a + τ·b ): λ·a + μ·b = -3(-5m - 7n) + 4(-3m + 2n) = 15m - 17n ν·a + τ·b = -1(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = 11m - 2n ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ) = ( 15m - 17n); (11m - 2n) = -352
b) Trovare la proiezione ( ν·a + τ·b ) su b: ( ν·a + τ·b ) = (-1)(-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m + 4n Il vettore di proiezione su un altro vettore è uguale al prodotto scalare del vettore per il vettore unitario della direzione di questo vettore, ovvero: proj_b(ν·a + τ·b) = ((-11m + 4n)·(-3m + 2n))/|b| = (-23/13)(-3m + 2n)
â) Cos singolo( a + τ·b ): a + τ·b = (-5m - 7n) + 2(-3m + 2n) = -11m - 3n cos( a + τ·b ) = cos(arccos( (a+b)/|a+b|)) = cos(arcos((-11m - 3n)/sqrt(170))) = (-11sqrt(170))/170 - (3sqrt(170))/170 = -14qrt(170)/1
N. 2. Troviamo i vettori a, b, c e d: a = AB = B - A = (-8; -6; 3) b = AC = C - A = (2; 1; -5) c = [a, b] = a x b = (-27; 28; 2) d = AM = A + α·(B - A) = (4; 3; 2) - α(8; 6; -3)
Vengono forniti anche i valori delle costanti: A(4;3;2), B(-4;-3;5), C(6;4;-3), α.
a) Modulo del vettore a: |a| = quadrato((-8)^2 + (-6)^2 + 3^2) = quadrato(109)
b) Prodotto scalare dei vettori aeb: a·b = (-8·2) + (-6·1) + (3·(-5)) = -29
c) Proiezione del vettore c sul vettore d: proj_d(c) = (c·d)/|d|^2 = ((-27·(-4α)) + (28·6α) + (2·(-3α ) ))/((8α)^2 + (6α)^2 + (-3α)^2) = (-8α)/13
d) Coordinate del punto M che divide il segmento ℓ rispetto ad α: AM/AB = α/1 M = A + α·AB = (4; 3; 2) + α(-8; -6; 3) = (-4α + 4; -3α + 3; 3α + 2)
ℓ non è dato, quindi la risposta dipende dal valore specifico di ℓ.
Numero 3. Per dimostrare che i vettori a, b e c formano una base, bisogna dimostrare che sono linearmente indipendenti e che qualsiasi vettore nello spazio può essere espresso come una combinazione lineare di questi vettori.
Verifichiamo l'indipendenza lineare dei vettori a, b e c. Per fare ciò, creiamo l'equazione a x + b y + c z = 0 e mostriamo che la sua unica soluzione è x = y = z = 0.
a·x + b·y + c·z = 0 (-2x + 3y + 4z; 5x + 2y - 3z; x - y + 2z) + (3u - 2v; 2u - 3v; -u + v) + ( 4p; -q; 2p) = 0 (-2x + 3y + 4z + 3u - 2v + 4p; 5x + 2y - 3z + 2u - 3v - q; x - y + 2z - u + v + 2p) = 0
Questo è un sistema di tre equazioni con tre incognite. Applicando il metodo gaussiano otteniamo un'unica soluzione x = y = z = u = v = p = q = 0. Ciò significa che i vettori a, b e c sono linearmente indipendenti, cioè formano una base nello spazio.
Cerchiamo ora le coordinate del vettore d in questa base. Per fare ciò, esprimiamo il vettore d in termini di vettori a, b e c:
d = α·a + β·b + γ·c
Sostituiamo i valori noti nella formula:
d = α(-2; 5; 1) + β(3; 2; -1) + γ(4; -3; 2) = (-2α + 3β + 4γ; 5α + 2β - 3γ; α - β + 2c)
Ora dobbiamo risolvere il sistema di equazioni:
-2a + 3b + 4c = -4 5a + 2b - 3c = 22 a - b + 2c = -13
Applicando il metodo gaussiano otteniamo la soluzione: α = 1, β = -4, γ = 3. Ciò significa che le coordinate del vettore d nella base {a, b, c} sono uguali a (1; -4 ; 3).
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IDZ Ryabushko 2.1 Opzione 24 è un insieme di problemi di algebra lineare, che include tre numeri.
N. 1. In questo problema devi trovare: a) il valore dell'espressione ( λ·a + μ·b )·( ν·a + τ·b ), che è il prodotto scalare di due combinazioni lineari di vettori a e b; b) proiezione del vettore ( ν·a + τ·b ) sul vettore b; c) il valore di cos(a + τ·b), dove aeb sono dati vettori.
Per risolvere il problema è necessario utilizzare le formule per il prodotto scalare, la proiezione di un vettore su un altro vettore e la formula di addizione di vettori. Come dati iniziali vengono forniti i coefficienti α, β, γ, δ, k, ℓ, φ, λ, μ, ν e τ, che devono essere utilizzati nei calcoli.
N. 2. In questo problema devi trovare: a) modulo del vettore a; b) prodotto scalare dei vettori aeb; c) proiezione del vettore c sul vettore d; d) coordinate del punto M che divide il segmento ℓ in un dato rapporto α.
Per risolvere il problema, è necessario utilizzare formule per il modulo di un vettore, prodotto scalare, proiezione di un vettore su un altro vettore, nonché formule per trovare le coordinate di un punto che divide un segmento in un dato rapporto. I dati iniziali sono le coordinate dei punti A, B e C, nonché i coefficienti necessari per i calcoli.
Numero 3. In questo problema devi dimostrare che i vettori a, b, c formano una base e trovare le coordinate del vettore d in questa base.
Per risolvere il problema è necessario dimostrare che i vettori a, b, c sono linearmente indipendenti e che qualsiasi vettore nello spazio tridimensionale può essere rappresentato come una combinazione lineare di questi vettori. Successivamente, è necessario trovare le coordinate del vettore d nella base a, b, c, utilizzando le formule per trovare i coefficienti di una combinazione lineare. I dati iniziali sono i vettori a, b, c e il vettore d, che devono essere utilizzati per risolvere il problema.
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Soluzione al problema 21.1.11 dalla collezione di Kepe O.E. - 21.1.11 Однородный цилиндр массой 2 кг может катиться по горизонтальной плоскости. В положении стат ... ...