给定四个点 A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。建立方程：
计算：
a) 平面A1A2A3的方程：
让我们求向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
那么平面的方程为A1A2A3：
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
或者
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0。\]
b) 直线A1A2方程：
求直线A1A2的方向向量：
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]
则直线A1A2的方程为：
\[ \begin{情况} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t。 \end{案例}\]
c) A4M 线方程：
由于直线A4M垂直于平面A1A2A3，因此直线A4M的方向向量必须与平面A1A2A3的法向量共线。让我们找到这个法向量：
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]
通过点A4的直线MA4有方程：
\[ \begin{案例} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
其中 $
给定四个点 A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。建立方程：
计算：
a) 平面A1A2A3的方程：
让我们求向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
那么平面的方程为A1A2A3：
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
或者
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0。\]
b) 直线A1A2方程：
求直线A1A2的方向向量：
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]
则直线A1A2的方程为：
\[ \begin{情况} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t。 \end{案例}\]
c) A4M 线方程：
由于直线A4M垂直于平面A1A2A3，因此直线A4M的方向向量必须与平面A1A2A3的法向量共线。让我们找到这个法向量：
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]
通过点A4的直线MA4有方程：
\[ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \\ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \\ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} \ ]
其中 $k_
有四个点：A1(4;4;10); A2(7;10;2); A3(2;8;4); A4(9;6;9)。必要的：
您还需要计算：
a) 平面A1A2A3的方程：
让我们求向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：
\[ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7-4 & 10 -4 & 2-10 \\ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} \]
那么平面的方程为A1A2A3：
\[ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0, \]
或者
\[3x - 13y - 9z + 71 = 0。\]
b) 直线A1A2方程：
求直线A1A2的方向向量：
\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\ vec{j} - 8\vec{k}。 \]
则直线A1A2的方程为：
\[ \begin{情况} x = 4 + 3t, \\ y = 4 + 6t, \\ z = 10 - 8t。 \end{案例}\]
c) A4M 线方程：
由于直线 A4M 垂直于平面 A1A2A3，因此直线 A4M 的方向向量必须与平面 A1A2A3 的法向量共线。让我们找到这个法向量：
\[ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 \]
通过点A4的直线MA4有方程：
\[ \begin{cases} x
在本练习中，您需要找到穿过三个给定点的平面、穿过两个给定点的直线以及垂直于平面并穿过给定点的直线的方程。还需要找到与给定直线平行的直线方程和垂直于给定直线并经过给定点的平面方程。此外，您需要计算给定对象之间角度的正弦和余弦。
a) 平面A1A2A3的方程： 让我们求向量 A1A2 和 A1A3 的向量积： [ \vec{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 7-4 & 10-4 & 2-10 \ 2-4 & 8-4 & 4-10 \end{vmatrix} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k} ] 那么平面的方程为A1A2A3： [ 6(x-4) - 26(y-4) - 18(z-10) = 0. ] 或 [ 3x - 13y - 9z + 71 = 0. ]
b) 直线A1A2方程： 求直线A1A2的方向向量： [ \overrightarrow{A_1A_2} = (7 - 4)\vec{i} + (10 - 4)\vec{j} + (2 - 10)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec {j} - 8\vec{k}。 ] 则直线A1A2的方程为： [ \begin{cases} x = 4 + 3t, \ y = 4 + 6t, \ z = 10 - 8t。 \end{案例}]
c) A4M 线方程： 由于直线A4M垂直于平面A1A2A3，因此直线A4M的方向向量必须与平面A1A2A3的法向量共线。让我们找到这个法向量： [ \vec{n} = 6\vec{i} - 26\vec{j} - 18\vec{k}。 ] 通过点A4的直线MA4有方程： [ \begin{cases} x - 9 = k_1 \cdot 6, \ y - 6 = k_1 \cdot (-26), \ z - 9 = k_1 \cdot (-18), \end{cases} ] 其中 $k_1$ 是任意参数。
d) A3N 线方程： 由于直线 A3N 与直线 A1A2 平行，因此它们具有相同的方向向量： [ \overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}。 ] 经过点 A3 的直线 A3N 有方程： [ \begin{cases} x = 2 + 3t, \ y = 8 + 6t, \ z = 4 - 8t。 \end{案例}]
e) 过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程： 直线A1A2的方向向量在上一段中已经求出：$\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$。所需平面的法向量必须垂直于该方向向量，即坐标为 , 6, -8$。那么所需平面的方程具有以下形式： [ 3(x-9) + 6(y-6) - 8(z-9) = 0, ] 或 [ 3x + 6y - 8z - 9 = 0。 ]
f) 直线A1A2和A3N之间的夹角的正弦和余弦： 直线 A1A2 和 A3N 的方向向量分别等于 $\overrightarrow{A_1A_2} = 3\vec{i} + 6\vec{j} - 8\vec{k}$ 和 $\overrightarrow{A_1A_3} = 3 \vec{i} + 2\vec{j} - 8\vec{k}$。它们的标量积等于： [ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3} = 3 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + (-8) \cdot (-8) = 83。] 向量的长度为： [ |\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-8)^2} = \sqrt{109}, ] [ |\overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{77}。 ] 然后可以使用以下公式计算直线之间角度的正弦： [ \sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{\sqrt{77}}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{\sqrt{77}}{77}。 ] 直线之间的角度的余弦等于： [ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_3}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_3}|} = \frac{83}{\sqrt{109} \cdot \sqrt{77}} = \frac{83\sqrt{77}}{847}。 ]
***
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Kepe O.E 收集的问题 16.1.2 的解决方案 - 16.1.2 При заданном уравнении вращения ? = 2(t2 + 1) наклонного стержня с осевым моментом инерции I ... ...