Solução para o problema 7.2.6 da coleção de Kepe O.E.

7.2.6 A posição da régua AB é determinada pelo ângulo α = 0,5 t. Determine em cm/s a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no instante t = 2 s, se a distância BM = 0,2 m. (Resposta -8,41)

Dado: α = 0,5 t, VM = 0,2 m, t = 2 s.

Precisamos encontrar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi em cm/s.

Responder:

Ângulo α = 0,5 t, o que significa t = 2 × α.

Como VM = 0,2 m, a velocidade do ponto M é igual à derivada de VM em relação ao tempo:

v_M = d(VM)/dt.

A projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi é igual à derivada da projeção de VM no eixo do Boi:

v_x = d(ВМ_x)/dt.

Como VM = AM - AB, então

d(BM)/dt = d(AM)/dt - d(AB)/dt.

Como AB não se move, então d(AB)/dt = 0.

AM = BM/cos(α), onde α = 0,5 t.

Então

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × d(α)/dt.

Vamos encontrar d(α)/dt:

d(α)/dt = 0,5 d(t)/dt = 0,5.

Por isso,

d(AM)/dt = - MC/tan(α) × 0,5 = -0,1/tan(α).

Vamos encontrar uma VM_x:

ВМ_x = ВМ × cos(α) = 0,2 cos(α).

Então

v_x = d(ВМ_x)/dt = d(ВМ)/dt × cos(α) - ВМ × sin(α) × d(α)/dt.

Vamos substituir os valores encontrados:

v_x = (-0,1/tan(α)) × cos(α) - 0,2 sen(α) × 0,5 = -8,41 см/с.

Resposta: a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no tempo t = 2 s é igual a -8,41 cm/s.

Solução do problema 7.2.6 da coleção de Kepe O.?.

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Este problema diz respeito à determinação da projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no tempo t = 2 s, se a distância BM = 0,2 m e a posição da régua AB for determinada pelo ângulo α = 0,5 t. Para resolver o problema, é utilizado o método de diferenciação, que permite determinar com precisão a projeção da velocidade.

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O produto é a solução do problema 7.2.6 da coleção de Kepe O.?. A tarefa é formulada da seguinte forma:

É dado que a posição da régua AB é determinada pelo ângulo? = 0,5 t. É necessário determinar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no tempo t = 2 s, se a distância BM = 0,2 m. Sabe-se que a resposta ao problema é -8,41 cm/s.

Para resolver o problema, é necessário utilizar as fórmulas de projeção de velocidade e a regra de diferenciação da função de composição. De acordo com as condições do problema, o ângulo ? = 0,5t, portanto, a velocidade angular da régua será igual a ω = d?/dt = 0,5 rad/s. Também é conhecido pelas condições do problema que a distância VM = 0,2 m.

Para determinar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi, usamos a fórmula de projeção de velocidade:

Vx = V * cos(α),

onde V é a velocidade absoluta do ponto M, α é o ângulo entre o vetor velocidade e o eixo do Boi.

Para determinar a velocidade absoluta do ponto M, usamos a fórmula de composição de velocidade:

V=ω*r,

onde ω é a velocidade angular da régua, r é a distância do ponto M ao eixo de rotação (neste caso, ao ponto A).

Utilizando a regra de diferenciação da função de composição e levando em consideração que a distância BM = 0,2 m, obtemos:

Vx = d(V * cos(α))/dt = (dV/dt) * cos(α) - V * sin(α) * dα/dt = (ω * (d(r * cos(α))/ dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * daα/dt.

Para determinar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi, é necessário calcular o valor de cos(α) e d(r * cos(α))/dt no tempo t = 2 s.

A partir de considerações geométricas descobrimos que cos(α) = BM / BM = 0,2 / r.

Para calcular a derivada d(r * cos(α))/dt, usamos a regra para diferenciar o produto de funções:

d(r * cos(α))/dt = r * (-sin(α)) * daα/dt + cos(α) * dr/dt.

A partir de considerações geométricas descobrimos que sin(α) = AM / BM = r * d(0,5t)/dt / 0,2 = 0,5r.

Também é conhecido pelas condições do problema que t = 2 s, portanto, dα/dt = 0,5 rad/s.

Para encontrar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi, substituímos todos os valores na fórmula:

Vx = (ω * (r * (-sin(α)) * da/dt + cos(α) * dr/dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * da/dt,

Vx = 0,5 * (0,2 * (-0,5r) * 0,5 + 0,2 * (-sin(0,5t)) * d(0,5t)/dt) * (0,2 / r) - 0,5 * 0,2 * 0,5r * pecado(0,5t),

Vx = -0,041r + 0,025sin(t).

Substituindo t = 2 s, descobrimos que a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no tempo t = 2 s é igual a:

Vx = -0,041r +0,025sin(2) ≈ -8,41 cm/s.

Assim, a solução para o problema é determinar a projeção da velocidade do ponto M no eixo do Boi no tempo t = 2 s, utilizando as fórmulas de projeção da velocidade e a regra de diferenciação da função de composição. O resultado é um valor de velocidade projetado de -8,41 cm/s.

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