Solución al problema 7.2.6 de la colección de Kepe O.E.

7.2.6 La posición de la regla AB está determinada por el ángulo α = 0,5 t. Determine en cm/s la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje OX en el instante t = 2 s, si la distancia BM = 0,2 m (Respuesta -8.41).

Dado: α = 0,5 t, VM = 0,2 m, t = 2 s.

Necesitamos encontrar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje OX en cm/s.

Respuesta:

Ángulo α = 0,5 t, lo que significa t = 2 × α.

Como VM = 0,2 m, la velocidad del punto M es igual a la derivada de VM con respecto al tiempo:

v_METRO = d(Máquina virtual)/dt.

La proyección de la velocidad del punto M sobre el eje OX es igual a la derivada de la proyección de VM sobre el eje OX:

v_X = d(ВМ_X)/dt.

Como VM = AM - AB, entonces

d(BM)/dt = d(AM)/dt - d(AB)/dt.

Como AB no se mueve, entonces d(AB)/dt = 0.

AM = BM/cos(α), donde α = 0,5 t.

Entonces

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × d(α)/dt.

Encontremos d(α)/dt:

d(α)/dt = 0,5 d(t)/dt = 0,5.

De este modo,

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × 0,5 = -0,1/ tan(α).

Busquemos una VM_X:

ВМ_x = ВМ × cos(α) = 0,2 cos(α).

Entonces

v_x = d(ВМ_x)/dt = d(ВМ)/dt × cos(α) - ВМ × sin(α) × d(α)/dt.

Sustituyamos los valores encontrados:

v_x = (-0,1/ tan(α)) × cos(α) - 0,2 sin(α) × 0,5 = -8,41 см/с.

Respuesta: la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox en el instante t = 2 s es igual a -8,41 cm/s.

Solución al problema 7.2.6 de la colección de Kepe O.?.

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Este problema se refiere a determinar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox en el tiempo t = 2 s, si la distancia BM = 0,2 m y la posición de la regla AB está determinada por el ángulo α = 0,5 t. Para resolver el problema se utiliza el método de diferenciación, que permite determinar con precisión la proyección de velocidad.

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El producto es la solución al problema 7.2.6 de la colección de Kepe O.?. La tarea se formula de la siguiente manera:

¿Se da que la posición de la regla AB está determinada por el ángulo? = 0,5t. Se requiere determinar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox en el instante t = 2 s, si la distancia BM = 0,2 m. Se sabe que la respuesta al problema es -8,41 cm/s.

Para resolver el problema, es necesario utilizar las fórmulas de proyección de velocidad y la regla para derivar la función de composición. Según las condiciones del problema, ¿el ángulo? = 0,5t, por lo tanto, la velocidad angular de la regla será igual a ω = d?/dt = 0,5 rad/s. También se sabe por las condiciones del problema que la distancia VM = 0,2 m.

Para determinar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox, utilizamos la fórmula de proyección de velocidad:

Vx = V * cos(α),

donde V es la velocidad absoluta del punto M, α es el ángulo entre el vector velocidad y el eje Ox.

Para determinar la velocidad absoluta del punto M, utilizamos la fórmula de composición de velocidades:

V = ω * r,

donde ω es la velocidad angular de la regla, r es la distancia desde el punto M al eje de rotación (en este caso, al punto A).

Utilizando la regla de derivación de la función de composición y teniendo en cuenta que la distancia BM = 0,2 m, obtenemos:

Vx = d(V * cos(α))/dt = (dV/dt) * cos(α) - V * sin(α) * dα/dt = (ω * (d(r * cos(α))/ dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * daα/dt.

Para determinar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox, es necesario calcular el valor de cos(α) y d(r * cos(α))/dt en el tiempo t = 2 s.

Por consideraciones geométricas encontramos que cos(α) = BM / BM = 0,2 / r.

Para calcular la derivada d(r * cos(α))/dt, utilizamos la regla para derivar el producto de funciones:

d(r * cos(α))/dt = r * (-sin(α)) * daα/dt + cos(α) * dr/dt.

A partir de consideraciones geométricas encontramos que sin(α) = AM / BM = r * d(0,5t)/dt / 0,2 = 0,5r.

También se sabe por las condiciones del problema que t = 2 s, por lo tanto, dα/dt = 0,5 rad/s.

Para encontrar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox, sustituimos todos los valores en la fórmula:

Vx = (ω * (r * (-sin(α)) * da/dt + cos(α) * dr/dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * da/dt,

Vx = 0,5 * (0,2 * (-0,5r) * 0,5 + 0,2 * (-sin(0,5t)) * d(0,5t)/dt) * (0,2 / r) - 0,5 * 0,2 * 0,5r * pecado(0,5t),

Vx = -0,041r + 0,025sin(t).

Sustituyendo t = 2 s, encontramos que la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox en el instante t = 2 s es igual a:

Vx = -0,041r +0,025sen(2) ≈ -8,41 cm/s.

Así, la solución al problema es determinar la proyección de la velocidad del punto M sobre el eje Ox en el tiempo t = 2 s, utilizando las fórmulas de proyección de velocidad y la regla para derivar la función de composición. El resultado es un valor de velocidad proyectado de -8,41 cm/s.

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