Soluzione al problema 7.2.6 dalla collezione di Kepe O.E.

7.2.6 La posizione del righello AB è determinata dall'angolo α = 0,5 t. Determina in cm/s la proiezione della velocità del punto M sull'asse del bue al tempo t = 2 s, se la distanza BM = 0,2 m. (Risposta -8.41)

Dati: α = 0,5 t, VM = 0,2 m, t = 2 s.

Dobbiamo trovare la proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue in cm/s.

Risposta:

Angolo α = 0,5 t, il che significa t = 2 × α.

Poiché VM = 0,2 m, la velocità del punto M è uguale alla derivata di VM rispetto al tempo:

v_M = d(VM)/dt.

La proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue è uguale alla derivata della proiezione di VM sull'asse del Bue:

v_X = d(ВМ_X)/dt.

Poiché VM = AM - AB, allora

d(BM)/dt = d(AM)/dt - d(AB)/dt.

Poiché AB non si muove, allora d(AB)/dt = 0.

AM = BM/cos(α), dove α = 0,5 t.

Poi

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × d(α)/dt.

Troviamo d(α)/dt:

d(α)/dt = 0,5 d(t)/dt = 0,5.

Così,

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × 0,5 = -0,1/tan(α).

Troviamo una VM_X:

ВМ_X = ВМ × cos(α) = 0,2 cos(α).

Poi

v_X = d(ВМ_X)/dt = d(ВМ)/dt × cos(α) - ВМ × sin(α) × d(α)/dt.

Sostituiamo i valori trovati:

v_X = (-0,1/ tan(α)) × cos(α) - 0,2 sin(α) × 0,5 = -8,41 см/с.

Risposta: la proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue al tempo t = 2 s è pari a -8,41 cm/s.

Soluzione al problema 7.2.6 dalla collezione di Kepe O.?.

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Questo problema riguarda la determinazione della proiezione della velocità del punto M sull'asse del bue al tempo t = 2 s, se la distanza BM = 0,2 m e la posizione del righello AB è determinata dall'angolo α = 0,5 t. Per risolvere il problema viene utilizzato il metodo di differenziazione, che consente di determinare con precisione la proiezione della velocità.

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Il prodotto è la soluzione al problema 7.2.6 dalla collezione di Kepe O.?. Il compito è formulato come segue:

È dato che la posizione del righello AB è determinata dall'angolo? = 0,5 t. Occorre determinare la proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue al tempo t = 2 s, se la distanza BM = 0,2 m. È noto che la risposta al problema è -8,41 cm/s.

Per risolvere il problema è necessario utilizzare le formule di proiezione della velocità e la regola per differenziare la funzione di composizione. A seconda delle condizioni del problema, l'angolo ? = 0,5t, quindi la velocità angolare del righello sarà pari a ω = d?/dt = 0,5 rad/s. Dalle condizioni del problema si sa anche che la distanza VM = 0,2 m.

Per determinare la proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue, utilizziamo la formula di proiezione della velocità:

Vx = V * cos(α),

dove V è la velocità assoluta del punto M, α è l'angolo tra il vettore velocità e l'asse Ox.

Per determinare la velocità assoluta del punto M, utilizziamo la formula di composizione della velocità:

V = ω * r,

dove ω è la velocità angolare del righello, r è la distanza dal punto M all'asse di rotazione (in questo caso, al punto A).

Utilizzando la regola per differenziare la funzione di composizione e tenendo conto che la distanza BM = 0,2 m, otteniamo:

Vx = d(V * cos(α))/dt = (dV/dt) * cos(α) - V * sin(α) * dα/dt = (ω * (d(r * cos(α))/ dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * daα/dt.

Per determinare la proiezione della velocità del punto M sull'asse Ox, è necessario calcolare il valore di cos(α) e d(r * cos(α))/dt al tempo t = 2 s.

Da considerazioni geometriche troviamo che cos(α) = BM / BM = 0,2 / r.

Per calcolare la derivata d(r * cos(α))/dt, utilizziamo la regola per differenziare il prodotto di funzioni:

d(r * cos(α))/dt = r * (-sin(α)) * daα/dt + cos(α) * dr/dt.

Da considerazioni geometriche troviamo che sin(α) = AM / BM = r * d(0.5t)/dt / 0.2 = 0.5r.

Dalle condizioni del problema è anche noto che t = 2 s, quindi dα/dt = 0,5 rad/s.

Per trovare la proiezione della velocità del punto M sull'asse del Bue, sostituiamo tutti i valori nella formula:

Vx = (ω * (r * (-sin(α)) * da/dt + cos(α) * dr/dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * da/dt,

Vx = 0,5 * (0,2 * (-0,5r) * 0,5 + 0,2 * (-sin(0,5t)) * d(0,5t)/dt) * (0,2 / r) - 0,5 * 0,2 * 0,5r * sin(0,5t),

Vx = -0,041r + 0,025sin(t).

Sostituendo t = 2 s, troviamo che la proiezione della velocità del punto M sull'asse Ox al tempo t = 2 s è pari a:

Vx = -0,041r +0,025sen(2) ≈ -8,41 cm/s.

Pertanto, la soluzione al problema è determinare la proiezione della velocità del punto M sull'asse Ox al tempo t = 2 s, utilizzando le formule di proiezione della velocità e la regola per differenziare la funzione di composizione. Il risultato è un valore di velocità previsto di -8,41 cm/s.

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