Solution au problème 7.2.6 de la collection Kepe O.E.

7.2.6 La position de la règle AB est déterminée par l'angle α = 0,5 t. Déterminer en cm/s la projection de la vitesse du point M sur l'aXe OX au temps t = 2 s, si la distance BM = 0,2 m. (Réponse -8.41)

Étant donné : α = 0,5 t, VM = 0,2 m, t = 2 s.

Nous devons trouver la projection de la vitesse du point M sur l’aXe OX en cm/s.

Répondre:

Angle α = 0,5 t, ce qui signifie t = 2 × α.

Puisque VM = 0,2 m, la vitesse du point M est égale à la dérivée de VM par rapport au temps :

v_M = d(Machine virtuelle)/dt.

La projection de la vitesse du point M sur l'aXe OX est égale à la dérivée de la projection de VM sur l'aXe Ox :

v_x = d(ВМ_x)/dt.

Puisque VM = AM - AB, alors

d(BM)/dt = d(AM)/dt - d(AB)/dt.

Puisque AB ne bouge pas, alors d(AB)/dt = 0.

AM = BM/cos(α), où α = 0,5 t.

Alors

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × d(α)/dt.

Trouvons d(α)/dt :

d(α)/dt = 0,5 d(t)/dt = 0,5.

Ainsi,

d(AM)/dt = - BM/tan(α) × 0,5 = -0,1/ tan(α).

Trouvons une VM_x:

ВМ_x = ВМ × cos(α) = 0,2 cos(α).

Alors

v_x = d(ВМ_x)/dt = d(ВМ)/dt × cos(α) - ВМ × sin(α) × d(α)/dt.

Remplaçons les valeurs trouvées :

v_x = (-0,1/ tan(α)) × cos(α) - 0,2 sin(α) × 0,5 = -8,41 см/с.

Réponse : la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox au temps t = 2 s est égale à -8,41 cm/s.

Solution au problème 7.2.6 de la collection Kepe O.?.

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Ce problème concerne la détermination de la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox au temps t = 2 s, si la distance BM = 0,2 m et la position de la règle AB est déterminée par l'angle α = 0,5 t. Pour résoudre le problème, la méthode de différenciation est utilisée, ce qui vous permet de déterminer avec précision la projection de vitesse.

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Le produit est la solution au problème 7.2.6 de la collection de Kepe O.?. La tâche est formulée comme suit :

On sait que la position de la règle AB est déterminée par l'angle ? = 0,5t. Il faut déterminer la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox au temps t = 2 s, si la distance BM = 0,2 m. On sait que la réponse au problème est -8,41 cm/s.

Pour résoudre le problème, il est nécessaire d'utiliser les formules de projection de vitesse et la règle de différenciation de la fonction de composition. Selon les conditions du problème, l'angle ? = 0,5t, donc la vitesse angulaire de la règle sera égale à ω = d?/dt = 0,5 rad/s. Il ressort également des conditions problématiques que la distance VM = 0,2 m.

Pour déterminer la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox, on utilise la formule de projection de vitesse :

Vx = V * cos(α),

où V est la vitesse absolue du point M, α est l'angle entre le vecteur vitesse et l'axe Ox.

Pour déterminer la vitesse absolue du point M, nous utilisons la formule de composition de vitesse :

V = ω * r,

où ω est la vitesse angulaire de la règle, r est la distance du point M à l'axe de rotation (dans ce cas, au point A).

En utilisant la règle de différenciation de la fonction de composition et en tenant compte du fait que la distance BM = 0,2 m, on obtient :

Vx = d(V * cos(α))/dt = (dV/dt) * cos(α) - V * sin(α) * dα/dt = (ω * (d(r * cos(α))/ dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * daα/dt.

Pour déterminer la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox, vous devez calculer la valeur de cos(α) et d(r * cos(α))/dt au temps t = 2 s.

D'après des considérations géométriques, nous trouvons que cos(α) = BM / BM = 0,2 / r.

Pour calculer la dérivée d(r * cos(α))/dt, on utilise la règle de différenciation du produit des fonctions :

d(r * cos(α))/dt = r * (-sin(α)) * daα/dt + cos(α) * dr/dt.

À partir de considérations géométriques, nous trouvons que sin(α) = AM / BM = r * d(0,5t)/dt / 0,2 = 0,5r.

D'après les conditions problématiques, on sait également que t = 2 s, donc dα/dt = 0,5 rad/s.

Pour trouver la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox, on substitue toutes les valeurs dans la formule :

Vx = (ω * (r * (-sin(α)) * da/dt + cos(α) * dr/dt)) * cos(α) - ω * r * sin(α) * da/dt,

Vx = 0,5 * (0,2 * (-0,5r) * 0,5 + 0,2 * (-sin(0,5t)) * d(0,5t)/dt) * (0,2 / r) - 0,5 * 0,2 * 0,5r * péché(0,5t),

Vx = -0,041r + 0,025sin(t).

En remplaçant t = 2 s, nous constatons que la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox au temps t = 2 s est égale à :

Vx = -0,041r +0,025sin(2) ≈ -8,41 cm/s.

Ainsi, la solution au problème est de déterminer la projection de la vitesse du point M sur l'axe Ox au temps t = 2 s, en utilisant les formules de projection de vitesse et la règle de différenciation de la fonction de composition. Le résultat est une valeur de vitesse projetée de -8,41 cm/s.

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