Solução para o problema 17.2.9 da coleção de Kepe O.E.

Problema 17.2.9 da coleção de Kepe O.?. é o seguinte: dado um sistema de equações da forma Ax = b, onde A é uma matriz quadrada de ordem n, x e b são vetores de dimensão n. É necessário encontrar uma solução para este sistema usando o método gaussiano.

Para resolver o problema você precisa realizar os seguintes passos:

1. Reduza a matriz A à forma triangular usando o método gaussiano. Isto é conseguido subtraindo sequencialmente as linhas da matriz umas das outras para obter zeros sob a diagonal principal.
2. Depois de reduzir a matriz A à forma triangular, a solução do sistema Ax = b é encontrada usando o método gaussiano ao contrário - primeiro é encontrado o último elemento do vetor solução, depois o penúltimo e assim sucessivamente até o primeiro elemento.

Solução do problema 17.2.9 da coleção de Kepe O.?. permite compreender o método de Gauss e sua aplicação na resolução de sistemas de equações lineares. Este problema é um exemplo típico de estudo do método Gauss e sua aplicação na resolução de problemas práticos.

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Problema 17.2.9 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:

"Dada uma função $f(x) = x^3 - 12x + a$. Estude-a para aumentar e diminuir, encontre extremos e intervalos de monotonicidade para diferentes valores do parâmetro $a$."

Para resolver este problema, é necessário calcular a primeira e a segunda derivadas da função $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

Em seguida, você precisa encontrar as raízes da derivada de primeira ordem:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

Assim, os pontos extremos da função $f(x)$ estarão localizados nos pontos $x = -2$ e $x = 2$.

A seguir, é necessário analisar os sinais das derivadas nos intervalos entre as raízes encontradas e além delas para determinar os intervalos de monotonicidade da função e seus extremos.

Se $x < -2$, então $f'(x) < 0$, o que significa que a função $f(x)$ está diminuindo neste intervalo. Se $-2 < x < 2$, então $f'(x) > 0$, o que significa que a função $f(x)$ está aumentando neste intervalo. Se $x > 2$, então $f'(x) < 0$, o que significa que a função $f(x)$ está diminuindo neste intervalo.

Assim, os intervalos de monotonicidade da função $f(x)$ para diferentes valores do parâmetro $a$ dependerão da posição das raízes da derivada de primeira ordem e serão determinados pelos sinais das derivadas em esses intervalos.

Por exemplo, se $a < -16$, então ambas as raízes da derivada de primeira ordem estarão fora do domínio de definição da função $f(x)$, e a função $f(x)$ diminuirá ao longo do todo o domínio de definição. Se $a = -16$, então uma das raízes coincidirá com a extremidade esquerda do domínio de definição da função $f(x)$, e neste intervalo a função $f(x)$ diminuirá, e no resto do domínio de definição aumentará. Se $-16 < a < 16$, então ambas as raízes estarão dentro do domínio de definição da função, e a função $f(x)$ aumentará no intervalo de monotonicidade central e diminuirá nos dois externos. Se $a = 16$, então uma das raízes coincidirá com a extremidade direita do domínio de definição da função $f(x)$, e neste intervalo a função $f(x)$ aumentará, e em o resto do domínio de definição diminuirá. Se $a > 16$, então ambas as raízes da derivada de primeira ordem estarão fora do domínio de definição da função $f(x)$, e a função $f(x)$ aumentará em todo o domínio de definição .

Solução do problema 17.2.9 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o principal momento de inércia de um disco homogêneo de raio r = 0,2 m e massa m = 2 kg em relação ao eixo de rotação O, deslocado a uma distância e = 0,1 m do centro de massa C. O disco gira uniformemente acelerado com aceleração angular ε = 10 rad /s^2.

O principal momento das forças de inércia é determinado pela fórmula: I = I0 + md^2, onde I0 é o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, m é a massa do disco, d é a distância entre os eixos de rotação.

Para encontrar o momento de inércia principal, é necessário determinar o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo centro de massa deslocado. O momento de inércia do disco em relação a tal eixo pode ser encontrado usando a fórmula de Steiner: I = I0 + md^2, onde I0 é o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, m é a massa do disco, d é a distância entre os eixos de rotação.

Para este problema, o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa é igual a I0 = (m*r^2)/2, onde r é o raio do disco. A distância entre os eixos de rotação é d = r - e.

Assim, o principal momento de inércia do disco em relação ao eixo deslocado por uma distância e do centro de massa é igual a: I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.

Resposta: 0,6 kg*m^2.

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