Solution au problème 17.2.9 de la collection Kepe O.E.

Problème 17.2.9 de la collection de Kepe O.?. est la suivante : étant donné un système d'équations de la forme Ax = b, où A est une matrice carrée d'ordre n, x et b sont des vecteurs de dimension n. Il est nécessaire de trouver une solution à ce système en utilisant la méthode gaussienne.

Pour résoudre le problème, vous devez effectuer les étapes suivantes :

1. Réduisez la matrice A sous forme triangulaire en utilisant la méthode gaussienne. Ceci est obtenu en soustrayant séquentiellement les lignes de la matrice les unes des autres afin d'obtenir des zéros sous la diagonale principale.
2. Après avoir réduit la matrice A sous forme triangulaire, la solution du système Ax = b est trouvée en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne - d'abord le dernier élément du vecteur solution est trouvé, puis l'avant-dernier, et ainsi de suite jusqu'au premier élément .

Solution au problème 17.2.9 de la collection de Kepe O.?. permet de comprendre la méthode de Gauss et son application pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Ce problème est un exemple typique pour étudier la méthode de Gauss et son application dans la résolution de problèmes pratiques.

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Problème 17.2.9 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :

"Étant donné une fonction $f(x) = x^3 - 12x + a$. Étudiez-la pour augmenter et diminuer, trouver des extrema et des intervalles de monotonie pour différentes valeurs du paramètre $a$."

Pour résoudre ce problème, il faut calculer les dérivées première et seconde de la fonction $f(x)$ :

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

Ensuite, vous devez trouver les racines de la dérivée du premier ordre :

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

Ainsi, les points extremum de la fonction $f(x)$ seront situés aux points $x = -2$ et $x = 2$.

Ensuite, il faut analyser les signes des dérivées dans les intervalles entre les racines trouvées et au-delà d'elles afin de déterminer les intervalles de monotonie de la fonction et ses extrema.

Si $x < -2$, alors $f'(x) < 0$, ce qui signifie que la fonction $f(x)$ est décroissante sur cet intervalle. Si $-2 < x < 2$, alors $f'(x) > 0$, ce qui signifie que la fonction $f(x)$ est croissante sur cet intervalle. Si $x > 2$, alors $f'(x) < 0$, ce qui signifie que la fonction $f(x)$ est décroissante sur cet intervalle.

Ainsi, les intervalles de monotonie de la fonction $f(x)$ pour différentes valeurs du paramètre $a$ dépendront de la position des racines de la dérivée du premier ordre et seront déterminés par les signes des dérivées sur ces intervalles.

Par exemple, si $a < -16$, alors les deux racines de la dérivée du premier ordre seront en dehors du domaine de définition de la fonction $f(x)$, et la fonction $f(x)$ diminuera tout au long de la période. tout le domaine de la définition. Si $a = -16$, alors une des racines coïncidera avec l'extrémité gauche du domaine de définition de la fonction $f(x)$, et sur cet intervalle la fonction $f(x)$ diminuera, et sur le reste du domaine de définition, elle augmentera. Si $-16 < a < 16$, alors les deux racines seront à l'intérieur du domaine de définition de la fonction, et la fonction $f(x)$ augmentera sur l'intervalle de monotonie central, et diminuera sur les deux externes. Si $a = 16$, alors une des racines coïncidera avec l'extrémité droite du domaine de définition de la fonction $f(x)$, et sur cet intervalle la fonction $f(x)$ augmentera, et dans le reste du domaine de définition diminuera. Si $a > 16$, alors les deux racines de la dérivée du premier ordre seront en dehors du domaine de définition de la fonction $f(x)$, et la fonction $f(x)$ augmentera dans tout le domaine de définition .

Solution au problème 17.2.9 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer le moment d'inertie principal d'un disque homogène de rayon r = 0,2 m de masse m = 2 kg par rapport à l'axe de rotation O, déplacé à une distance e = 0,1 m du centre de masse C. Le disque tourne uniformément accéléré avec une accélération angulaire ε = 10 rad /s^2.

Le moment principal des forces d'inertie est déterminé par la formule : I = I0 + md^2, où I0 est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe passant par son centre de masse, m est la masse du disque, d est la distance entre les axes de rotation.

Pour trouver le moment d'inertie principal, il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe passant par le centre de masse déplacé. Le moment d'inertie du disque par rapport à un tel axe peut être trouvé à l'aide de la formule de Steiner : I = I0 + md^2, où I0 est le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe passant par son centre de masse, m est la masse du disque, d est la distance entre les axes de rotation.

Pour ce problème, le moment d'inertie du disque par rapport à l'axe passant par son centre de masse est égal à I0 = (m*r^2)/2, où r est le rayon du disque. La distance entre les axes de rotation est d = r - e.

Ainsi, le moment d'inertie principal du disque par rapport à l'axe déplacé d'une distance e du centre de masse est égal à : I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.

Réponse : 0,6 kg*m^2.

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