Problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. è la seguente: dato un sistema di equazioni della forma Ax = b, dove A è una matrice quadrata di ordine n, x e b sono vettori di dimensione n. È necessario trovare una soluzione a questo sistema utilizzando il metodo gaussiano.
Per risolvere il problema è necessario eseguire i seguenti passaggi:
Soluzione al problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. permette di comprendere il metodo di Gauss e la sua applicazione per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questo problema è un tipico esempio per lo studio del metodo di Gauss e la sua applicazione nella risoluzione di problemi pratici.
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Problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. è così formulato:
"Data una funzione $f(x) = x^3 - 12x + a$. Studiala per aumentare e diminuire, trova estremi e intervalli di monotonicità per diversi valori del parametro $a$."
Per risolvere questo problema è necessario calcolare la derivata prima e seconda della funzione $f(x)$:
$f'(x) = 3x^2 - 12$
$f''(x) = 6x$
Successivamente, devi trovare le radici della derivata del primo ordine:
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$
Pertanto, i punti estremi della funzione $f(x)$ si troveranno nei punti $x = -2$ e $x = 2$.
Successivamente, è necessario analizzare i segni delle derivate negli intervalli tra le radici trovate e oltre esse per determinare gli intervalli di monotonicità della funzione e dei suoi estremi.
Se $x < -2$, allora $f'(x) < 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è decrescente in questo intervallo. Se $-2 < x < 2$, allora $f'(x) > 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è crescente su questo intervallo. Se $x > 2$, allora $f'(x) < 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è decrescente in questo intervallo.
Pertanto, gli intervalli di monotonicità della funzione $f(x)$ per diversi valori del parametro $a$ dipenderanno dalla posizione delle radici della derivata del primo ordine e saranno determinati dai segni delle derivate su questi intervalli.
Ad esempio, se $a < -16$, entrambe le radici della derivata del primo ordine saranno esterne al dominio di definizione della funzione $f(x)$ e la funzione $f(x)$ diminuirà durante tutto il periodo intero dominio di definizione. Se $a = -16$, allora una delle radici coinciderà con l'estremità sinistra del dominio di definizione della funzione $f(x)$, e su questo intervallo la funzione $f(x)$ diminuirà, e sul resto del dominio di definizione aumenterà. Se $-16 < a < 16$, allora entrambe le radici saranno all'interno del dominio di definizione della funzione, e la funzione $f(x)$ aumenterà sull'intervallo di monotonicità centrale e diminuirà sui due esterni. Se $a = 16$, allora una delle radici coinciderà con l'estremità destra del dominio di definizione della funzione $f(x)$, e su questo intervallo la funzione $f(x)$ aumenterà, e in il resto del dominio di definizione diminuirà. Se $a > 16$, allora entrambe le radici della derivata del primo ordine saranno esterne al dominio di definizione della funzione $f(x)$, e la funzione $f(x)$ aumenterà in tutto il dominio di definizione .
Soluzione al problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il momento d'inerzia principale di un disco omogeneo di raggio r = 0,2 m con massa m = 2 kg rispetto all'asse di rotazione O, spostato ad una distanza e = 0,1 m dal centro di massa C. Il disco ruota accelerato uniformemente con accelerazione angolare ε = 10 rad /s^2.
Il momento principale delle forze d'inerzia è determinato dalla formula: I = I0 + md^2, dove I0 è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa, m è la massa del disco, d è la distanza tra gli assi di rotazione.
Per trovare il momento d'inerzia principale, è necessario determinare il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il centro di massa spostato. Il momento di inerzia del disco rispetto a tale asse può essere trovato utilizzando la formula di Steiner: I = I0 + md^2, dove I0 è il momento di inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa, m è la massa del disco, d è la distanza tra gli assi di rotazione.
Per questo problema, il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa è pari a I0 = (m*r^2)/2, dove r è il raggio del disco. La distanza tra gli assi di rotazione è d = r - e.
Pertanto, il momento d'inerzia principale del disco rispetto all'asse spostato di una distanza e dal centro di massa è pari a: I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.
Risposta: 0,6 kg*m^2.
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