Soluzione al problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.E.

Problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. è la seguente: dato un sistema di equazioni della forma Ax = b, dove A è una matrice quadrata di ordine n, x e b sono vettori di dimensione n. È necessario trovare una soluzione a questo sistema utilizzando il metodo gaussiano.

Per risolvere il problema è necessario eseguire i seguenti passaggi:

1. Riduci la matrice A alla forma triangolare utilizzando il metodo gaussiano. Ciò si ottiene sottraendo sequenzialmente le righe della matrice l'una dall'altra per ottenere zeri sotto la diagonale principale.
2. Dopo aver ridotto la matrice A alla forma triangolare, si trova la soluzione del sistema Ax = b utilizzando il metodo gaussiano inverso: prima si trova l'ultimo elemento del vettore soluzione, poi il penultimo e così via fino al primo elemento .

Soluzione al problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. permette di comprendere il metodo di Gauss e la sua applicazione per risolvere sistemi di equazioni lineari. Questo problema è un tipico esempio per lo studio del metodo di Gauss e la sua applicazione nella risoluzione di problemi pratici.

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Problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. è così formulato:

"Data una funzione $f(x) = x^3 - 12x + a$. Studiala per aumentare e diminuire, trova estremi e intervalli di monotonicità per diversi valori del parametro $a$."

Per risolvere questo problema è necessario calcolare la derivata prima e seconda della funzione $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

Successivamente, devi trovare le radici della derivata del primo ordine:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

Pertanto, i punti estremi della funzione $f(x)$ si troveranno nei punti $x = -2$ e $x = 2$.

Successivamente, è necessario analizzare i segni delle derivate negli intervalli tra le radici trovate e oltre esse per determinare gli intervalli di monotonicità della funzione e dei suoi estremi.

Se $x < -2$, allora $f'(x) < 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è decrescente in questo intervallo. Se $-2 < x < 2$, allora $f'(x) > 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è crescente su questo intervallo. Se $x > 2$, allora $f'(x) < 0$, il che significa che la funzione $f(x)$ è decrescente in questo intervallo.

Pertanto, gli intervalli di monotonicità della funzione $f(x)$ per diversi valori del parametro $a$ dipenderanno dalla posizione delle radici della derivata del primo ordine e saranno determinati dai segni delle derivate su questi intervalli.

Ad esempio, se $a < -16$, entrambe le radici della derivata del primo ordine saranno esterne al dominio di definizione della funzione $f(x)$ e la funzione $f(x)$ diminuirà durante tutto il periodo intero dominio di definizione. Se $a = -16$, allora una delle radici coinciderà con l'estremità sinistra del dominio di definizione della funzione $f(x)$, e su questo intervallo la funzione $f(x)$ diminuirà, e sul resto del dominio di definizione aumenterà. Se $-16 < a < 16$, allora entrambe le radici saranno all'interno del dominio di definizione della funzione, e la funzione $f(x)$ aumenterà sull'intervallo di monotonicità centrale e diminuirà sui due esterni. Se $a = 16$, allora una delle radici coinciderà con l'estremità destra del dominio di definizione della funzione $f(x)$, e su questo intervallo la funzione $f(x)$ aumenterà, e in il resto del dominio di definizione diminuirà. Se $a > 16$, allora entrambe le radici della derivata del primo ordine saranno esterne al dominio di definizione della funzione $f(x)$, e la funzione $f(x)$ aumenterà in tutto il dominio di definizione .

Soluzione al problema 17.2.9 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il momento d'inerzia principale di un disco omogeneo di raggio r = 0,2 m con massa m = 2 kg rispetto all'asse di rotazione O, spostato ad una distanza e = 0,1 m dal centro di massa C. Il disco ruota accelerato uniformemente con accelerazione angolare ε = 10 rad /s^2.

Il momento principale delle forze d'inerzia è determinato dalla formula: I = I0 + md^2, dove I0 è il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa, m è la massa del disco, d è la distanza tra gli assi di rotazione.

Per trovare il momento d'inerzia principale, è necessario determinare il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il centro di massa spostato. Il momento di inerzia del disco rispetto a tale asse può essere trovato utilizzando la formula di Steiner: I = I0 + md^2, dove I0 è il momento di inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa, m è la massa del disco, d è la distanza tra gli assi di rotazione.

Per questo problema, il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse passante per il suo centro di massa è pari a I0 = (m*r^2)/2, dove r è il raggio del disco. La distanza tra gli assi di rotazione è d = r - e.

Pertanto, il momento d'inerzia principale del disco rispetto all'asse spostato di una distanza e dal centro di massa è pari a: I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.

Risposta: 0,6 kg*m^2.

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