Lösung zu Aufgabe 17.2.9 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Aufgabe 17.2.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt: Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form Ax = b, wobei A eine quadratische Matrix der Ordnung n ist, x und b Vektoren der Dimension n sind. Es ist erforderlich, eine Lösung für dieses System mithilfe der Gaußschen Methode zu finden.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Reduzieren Sie Matrix A mithilfe der Gaußschen Methode auf eine Dreiecksform. Dies wird erreicht, indem die Zeilen der Matrix nacheinander voneinander subtrahiert werden, um Nullen unter der Hauptdiagonale zu erhalten.
2. Nach dem Reduzieren der Matrix A auf die Dreiecksform wird die Lösung des Systems Ax = b mithilfe der umgekehrten Gaußschen Methode gefunden: Zuerst wird das letzte Element des Lösungsvektors gefunden, dann das vorletzte und so weiter bis zum ersten Element.

Lösung zu Aufgabe 17.2.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. ermöglicht Ihnen, die Gauß-Methode und ihre Anwendung zur Lösung linearer Gleichungssysteme zu verstehen. Dieses Problem ist ein typisches Beispiel für das Studium der Gauß-Methode und ihrer Anwendung bei der Lösung praktischer Probleme.

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Aufgabe 17.2.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

„Gegeben sei eine Funktion $f(x) = x^3 – 12x + a$. Studieren Sie sie auf Zunehmend und Absteigend, finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie für verschiedene Werte des Parameters $a$.“

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die erste und zweite Ableitung der Funktion $f(x)$ zu berechnen:

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

Als nächstes müssen Sie die Wurzeln der Ableitung erster Ordnung finden:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

Somit liegen die Extrempunkte der Funktion $f(x)$ an den Punkten $x = -2$ und $x = 2$.

Als nächstes müssen die Vorzeichen der Ableitungen in den Intervallen zwischen den gefundenen Wurzeln und darüber hinaus analysiert werden, um die Intervalle der Monotonie der Funktion und ihrer Extrema zu bestimmen.

Wenn $x < -2$, dann ist $f'(x) < 0$, was bedeutet, dass die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall abnimmt. Wenn $-2 < x < 2$, dann ist $f'(x) > 0$, was bedeutet, dass die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall zunimmt. Wenn $x > 2$, dann ist $f'(x) < 0$, was bedeutet, dass die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall abnimmt.

Somit hängen die Monotonieintervalle der Funktion $f(x)$ für verschiedene Werte des Parameters $a$ von der Position der Wurzeln der Ableitung erster Ordnung ab und werden durch die Vorzeichen der Ableitungen bestimmt diese Intervalle.

Wenn beispielsweise $a < -16$, dann liegen beide Wurzeln der Ableitung erster Ordnung außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion $f(x)$ und die Funktion $f(x)$ nimmt im gesamten ab gesamten Definitionsbereich. Wenn $a = -16$, dann fällt eine der Wurzeln mit dem linken Ende des Definitionsbereichs der Funktion $f(x)$ zusammen, und in diesem Intervall nimmt die Funktion $f(x)$ ab, und im übrigen Definitionsbereich wird sie zunehmen. Wenn $-16 < a < 16$, liegen beide Wurzeln innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion, und die Funktion $f(x)$ nimmt im zentralen Monotonieintervall zu und in den beiden äußeren ab. Wenn $a = 16$, dann fällt eine der Wurzeln mit dem rechten Ende des Definitionsbereichs der Funktion $f(x)$ zusammen, und in diesem Intervall nimmt die Funktion $f(x)$ zu, und zwar in im restlichen Definitionsbereich wird es abnehmen. Wenn $a > 16$, dann liegen beide Wurzeln der Ableitung erster Ordnung außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion $f(x)$ und die Funktion $f(x)$ nimmt im gesamten Definitionsbereich zu .

Lösung zu Aufgabe 17.2.9 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, das Hauptträgheitsmoment einer homogenen Scheibe mit dem Radius r = 0,2 m und der Masse m = 2 kg relativ zur Rotationsachse O zu bestimmen, die im Abstand e = 0,1 m vom Massenschwerpunkt C verschoben ist. Die Scheibe dreht sich gleichmäßig beschleunigt mit der Winkelbeschleunigung ε = 10 rad /s^2.

Das Hauptmoment der Trägheitskräfte wird durch die Formel I = I0 + md^2 bestimmt, wobei I0 das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu der Achse ist, die durch ihren Massenschwerpunkt verläuft, m die Masse der Scheibe ist, d ist der Abstand zwischen den Drehachsen.

Um das Hauptträgheitsmoment zu ermitteln, muss das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu der Achse bestimmt werden, die durch den verschobenen Massenschwerpunkt verläuft. Das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu einer solchen Achse kann mit der Steiner-Formel ermittelt werden: I = I0 + md^2, wobei I0 das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu der Achse ist, die durch ihren Massenschwerpunkt m verläuft ist die Masse der Scheibe, d ist der Abstand zwischen den Rotationsachsen.

Für dieses Problem ist das Trägheitsmoment der Scheibe relativ zu der Achse, die durch ihren Massenschwerpunkt verläuft, gleich I0 = (m*r^2)/2, wobei r der Radius der Scheibe ist. Der Abstand zwischen den Drehachsen beträgt d = r – e.

Somit ist das Hauptträgheitsmoment der Scheibe relativ zu der um einen Abstand e vom Massenschwerpunkt verschobenen Achse gleich: I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.

Antwort: 0,6 kg*m^2.

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