Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.Е.

Задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.?. е както следва: дадена е система от уравнения във формата Ax = b, където A е квадратна матрица от ред n, x и b са вектори с размерност n. Необходимо е да се намери решение на тази система с помощта на метода на Гаус.

За да разрешите проблема, трябва да изпълните следните стъпки:

1. Редуцирайте матрица А до триъгълна форма, като използвате метода на Гаус. Това се постига чрез последователно изваждане на редовете на матрицата един от друг, за да се получат нули под главния диагонал.
2. След привеждане на матрицата A до триъгълна форма, решението на системата Ax = b се намира по обратния метод на Гаус - първо се намира последният елемент от вектора на решението, след това предпоследният и така до първия елемент .

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.?. ви позволява да разберете метода на Гаус и приложението му за решаване на системи от линейни уравнения. Тази задача е типичен пример за изучаване на метода на Гаус и приложението му при решаване на практически задачи.

***

Задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.?. се формулира по следния начин:

"Дадена е функция $f(x) = x^3 - 12x + a$. Изследвайте я за нарастване и намаляване, намерете екстремуми и интервали на монотонност за различни стойности на параметъра $a$."

За да се реши този проблем, е необходимо да се изчислят първата и втората производни на функцията $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

След това трябва да намерите корените на производната от първи ред:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

Така точките на екстремума на функцията $f(x)$ ще бъдат разположени в точките $x = -2$ и $x = 2$.

След това е необходимо да се анализират знаците на производните в интервалите между намерените корени и извън тях, за да се определят интервалите на монотонност на функцията и нейните екстремуми.

Ако $x < -2$, тогава $f'(x) < 0$, което означава, че функцията $f(x)$ намалява на този интервал. Ако $-2 < x < 2$, тогава $f'(x) > 0$, което означава, че функцията $f(x)$ нараства на този интервал. Ако $x > 2$, тогава $f'(x) < 0$, което означава, че функцията $f(x)$ намалява на този интервал.

По този начин интервалите на монотонност на функцията $f(x)$ за различни стойности на параметъра $a$ ще зависят от позицията на корените на производната от първи ред и ще се определят от знаците на производните на тези интервали.

Например, ако $a < -16$, тогава и двата корена на производната от първи ред ще бъдат извън областта на дефиниране на функцията $f(x)$ и функцията $f(x)$ ще намалява през целия цялата област на дефиниция. Ако $a = -16$, тогава един от корените ще съвпадне с левия край на областта на дефиниране на функцията $f(x)$ и на този интервал функцията $f(x)$ ще намалява и в останалата част от домейна на дефиниция ще се увеличи. Ако $-16 < a < 16$, тогава и двата корена ще бъдат вътре в областта на дефиниране на функцията и функцията $f(x)$ ще расте в централния интервал на монотонност и ще намалява в двата външни. Ако $a = 16$, тогава един от корените ще съвпадне с десния край на областта на дефиниция на функцията $f(x)$ и на този интервал функцията $f(x)$ ще нараства, а в останалата част от домейна на дефиниция ще намалее. Ако $a > 16$, тогава и двата корена на производната от първи ред ще бъдат извън областта на дефиниция на функцията $f(x)$ и функцията $f(x)$ ще нараства в цялата област на дефиниция .

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.?. се състои в определяне на основния инерционен момент на хомогенен диск с радиус r = 0,2 m с маса m = 2 kg спрямо оста на въртене O, изместен на разстояние e = 0,1 m от центъра на масата C. Дискът се върти равномерно ускорено с ъглово ускорение ε = 10 rad /s^2.

Основният момент на инерционните сили се определя по формулата: I = I0 + md^2, където I0 е инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през неговия център на масата, m е масата на диска, d е разстоянието между осите на въртене.

За да се намери основният инерционен момент, е необходимо да се определи инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през изместения център на масата. Инерционният момент на диска спрямо такава ос може да се намери с помощта на формулата на Щайнер: I = I0 + md^2, където I0 е инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през неговия център на масата, m е масата на диска, d е разстоянието между осите на въртене.

За тази задача инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през неговия център на масата, е равен на I0 = (m*r^2)/2, където r е радиусът на диска. Разстоянието между осите на въртене е d = r - e.

По този начин основният инерционен момент на диска спрямо оста, изместен на разстояние e от центъра на масата, е равен на: I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0,6 kg*m^2.

Отговор: 0,6 kg*m^2.

***

1. Много удобно и разбираемо решение на проблема.
2. Работи бързо и без грешки.
3. Благодарение на това решение разбрах по-добре материала.
4. Страхотен дигитален продукт за тези, които учат математика.
5. Това решение ми помогна успешно да изпълня задачата.
6. Чудесен пример за това как използването на цифрови ресурси може да улесни ученето.
7. Благодарение на този продукт успях значително да намаля времето, необходимо за изпълнение на дадена задача.
8. Решението на проблема е представено в удобен и разбираем формат.
9. Силно препоръчвам този продукт на всеки, който учи математика.
10. Благодаря на автора за прекрасния дигитален продукт!

Особености:

Решението на задача 17.2.9 беше много полезно за учебните ми цели.

Много съм благодарен за този дигитален продукт, той ми помогна да разреша труден проблем.

Проблем 17.2.9 беше решен бързо и лесно благодарение на този цифров продукт.

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.Е. е чудесен пример за качествен дигитален продукт.

Препоръчвам този цифров продукт на всеки, който търси помощ при математически задачи.

Цифровият продукт ми позволи да намаля времето, което отделих за решаване на задача 17.2.9.

Без този цифров продукт нямаше да се справя със задача 17.2.9.

Решението на проблем 17.2.9 в този цифров продукт беше представено много ясно и разбираемо.

Натрупах ценни знания и опит благодарение на този дигитален продукт.

Дигиталният продукт ми помогна да подобря знанията и уменията си по математика.

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.Е. ми помогна да разбера по-добре материала по теория на вероятностите.

Много удобно е, че решението на задача 17.2.9 от сборника на Kepe O.E. представени в цифров формат - могат лесно да се съхраняват на компютър или телефон.

Благодаря на автора за подробно и разбираемо решение на задача 17.2.9 от колекцията на Kepe O.E. - Не бих могъл да се справя с тази задача без този материал.

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.Е. ми помогна да издържа изпита по математическа статистика.

Много качествено решение на задача 17.2.9 от сборника на Kepe O.E. - авторът очевидно е дълбоко запознат с темата и знае как да предаде информация на читателя.

Благодарен съм на автора за решаването на задача 17.2.9 от колекцията на О. Е. Кепе. - беше отличен материал за подготовка за семинар по теория на вероятностите.

Решение на задача 17.2.9 от сборника на Кепе О.Е. ми помогна да реша подобен проблем на изпита - бях готов за този обрат на събитията благодарение на този материал.