Kepe O.E. のコレクションからの問題 17.2.9 の解決策

Kepe O.? のコレクションからの問題 17.2.9。 Ax = b という形式の方程式系が与えられるとします。ここで、A は次数 n の正方行列、x と b は次元 n のベクトルです。ガウス法を使用してこのシステムの解を見つける必要があります。

この問題を解決するには、次の手順を実行する必要があります。

1. ガウス法を使用して行列 A を三角形の形式に縮小します。これは、主対角の下のゼロを取得するために行列の行を相互に順次減算することによって達成されます。
2. 行列 A を三角形形式に縮小した後、ガウス法の逆を使用してシステム Ax = b の解が見つかります。最初に解ベクトルの最後の要素が見つかり、次に最後から 2 番目の要素が見つかり、最初の要素が見つかるまで続きます。 。

Kepe O.? のコレクションからの問題 17.2.9 の解決策。ガウス法と、連立一次方程式を解くためのその応用を理解することができます。この問題は、ガウス法と実際の問題の解決におけるその応用を研究するための典型的な例です。

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Kepe O.? のコレクションからの問題 17.2.9。は次のように定式化されます。

「関数 $f(x) = x^3 - 12x + a$ が与えられたとします。それを増加と減少について調べ、パラメーター $a$ のさまざまな値に対する単調性の極値と間隔を見つけます。」

この問題を解決するには、関数 $f(x)$ の 1 次導関数と 2 次導関数を計算する必要があります。

$f'(x) = 3x^2 - 12$

$f''(x) = 6x$

次に、一次導関数の根を見つける必要があります。

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm 2$

したがって、関数 $f(x)$ の極値点は、点 $x = -2$ および $x = 2$ に位置します。

次に、関数の単調性の区間とその極値を決定するために、見つかった根の間とそれを超えた区間の導関数の符号を分析する必要があります。

$x < -2$ の場合、$f'(x) < 0$ になります。これは、関数 $f(x)$ がこの間隔で減少していることを意味します。 $-2 < x < 2$ の場合、$f'(x) > 0$ になります。これは、関数 $f(x)$ がこの間隔で増加していることを意味します。 $x > 2$ の場合、$f'(x) < 0$ となり、関数 $f(x)$ がこの区間で減少していることを意味します。

したがって、パラメータ $a$ のさまざまな値に対する関数 $f(x)$ の単調性区間は、一次導関数の根の位置に依存し、次の導関数の符号によって決定されます。この間隔。

たとえば、$a < -16$ の場合、一次導関数の両方の根は関数 $f(x)$ の定義域の外にあり、関数 $f(x)$ は期間全体にわたって減少します。定義領域全体。 $a = -16$ の場合、根の 1 つは関数 $f(x)$ の定義域の左端と一致し、この間隔で関数 $f(x)$ は減少します。残りの定義領域では増加するでしょう。 $-16 < a < 16$ の場合、両方の根は関数の定義域内にあり、関数 $f(x)$ は中心の単調性区間で増加し、外側の 2 つの単調性区間で減少します。 $a = 16$ の場合、根の 1 つは関数 $f(x)$ の定義域の右端と一致し、この間隔で関数 $f(x)$ は増加します。残りの定義領域では減少します。 $a > 16$ の場合、一次導関数の両方の根は関数 $f(x)$ の定義域の外にあり、関数 $f(x)$ は定義域全体にわたって増加します。 。

Kepe O.? のコレクションからの問題 17.2.9 の解決策。質量中心 C から距離 e = 0.1 m の位置にある、回転軸 O を基準とした、質量 m = 2 kg の半径 r = 0.2 m の均質なディスクの主慣性モーメントを決定することにあります。ディスクは回転します。角加速度 ε = 10 rad /s^2 で均一に加速されます。

力の主な慣性モーメントは次の式で決定されます: I = I0 + md^2、ここで I0 は質量中心を通過する軸に対するディスクの慣性モーメント、m はディスクの質量、d回転軸間の距離です。

主慣性モーメントを求めるには、変位した質量中心を通過する軸に対するディスクの慣性モーメントを決定する必要があります。このような軸に対するディスクの慣性モーメントは、シュタイナーの公式 I = I0 + md^2 を使用して求めることができます。ここで、I0 は、質量中心 m を通過する軸に対するディスクの慣性モーメントです。はディスクの質量、d は回転軸間の距離です。

この問題では、質量中心を通過する軸に対するディスクの慣性モーメントは、I0 = (m*r^2)/2 に等しくなります。ここで、r はディスクの半径です。回転軸間の距離は d = r - e です。

したがって、質量中心から距離 e だけ離れた軸に対するディスクの主慣性モーメントは次のようになります。 I = (mr^2)/2 + m(r-e)^2 = 0.6 kg*m^2。

答え: 0.6 kg*m^2。

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