13.4.14 A equação diferencial para o movimento oscilatório de uma carga suspensa por uma mola é escrita como x + 20x = 0. É necessário determinar a massa da carga se o coeficiente de rigidez da mola c = 150 N/m. (Resposta 7.5)
Responder:
A equação para o movimento oscilatório da carga é dada:
x + 20x = 0
onde x é o deslocamento da carga da posição de equilíbrio no tempo t.
Vamos dividir ambos os lados da equação por x:
1 + 20 = 0
21x = 0
x = 0
Assim, o deslocamento da carga da posição de equilíbrio no tempo t é zero.
Coeficiente de rigidez da mola c = 150 N/m.
Da equação do movimento oscilatório sabe-se que:
ω² = s/m,
onde ω é a frequência cíclica das oscilações, m é a massa da carga.
Vamos expressar a massa da carga:
m = s/ω²
ω = √(s/m) = √(150/m)
Vamos substituir a expressão por ω na equação do movimento oscilatório:
x + 20x = 0
21x = 0
x = 0
Como o deslocamento da carga da posição de equilíbrio no instante t é zero, a massa da carga é igual a:
м = с/ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²
onde T é o período de oscilação.
Sabe-se que o período de oscilação está relacionado com a frequência cíclica pela seguinte relação:
T = 2p/h
Vamos substituir a expressão de ω na fórmula da massa:
м = 150T²/4π² = 150(2π/ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²м = 150*4/π² м ≈ 7,5 kg.
Resposta: a massa da carga é 7,5 kg.
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Problema 13.4.14 da coleção de Kepe O.?. consiste em resolver a equação diferencial do movimento oscilatório de uma carga suspensa por uma mola. A equação tem a forma x + 20x = 0, onde x é o deslocamento da carga da posição de equilíbrio no tempo t.
É necessário determinar a massa da carga. A constante de mola c é 150 N/m.
Para resolver este problema, é necessário utilizar a equação do movimento oscilatório de um sistema mecânico:
mx'' + cx' + kx = 0, onde m é a massa da carga, c é o coeficiente de atrito viscoso, k é o coeficiente de rigidez da mola, x é o deslocamento da carga da posição de equilíbrio no tempo t.
No nosso caso, dado que o coeficiente de atrito viscoso é zero, a equação pode ser escrita como:
mx'' + kx = 0
Substituindo os valores da condição, obtemos:
mх'' + 150x = 0
A equação característica desta equação diferencial tem a forma:
ml ^ 2 + 150 = 0
Resolvido, encontramos as frequências naturais de oscilações do sistema:
λ1,2 = ±√(150/m)
Como o sistema é oscilatório, suas frequências naturais são determinadas da seguinte forma:
ω = √(k/m)
Segue que:
ω = √(150/m)
Portanto, a massa da carga é encontrada pela fórmula:
m = 150/ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5
Resposta: a massa da carga é 7,5.
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Solução 20.2.2 da coleção (apostila) de Kepe O.E. 1989 - Решение задачи 20.2.2Рассмотрим однородный стержень... ...