13.4.14 L'équation différentielle du mouvement oscillatoire d'une charge suspendue à un ressort s'écrit x + 20x = 0. Il est nécessaire de déterminer la masse de la charge si le coefficient de rigidité du ressort c = 150 N/m. (Réponse 7.5)
Répondre:
L'équation du mouvement oscillatoire de la charge est donnée :
x + 20x = 0
où x est le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre au temps t.
Divisons les deux côtés de l'équation par x :
1 + 20 = 0
21x = 0
x = 0
Ainsi, le déplacement de la charge depuis la position d’équilibre au temps t est nul.
Coefficient de rigidité du ressort c = 150 N/m.
De l’équation du mouvement oscillatoire, on sait que :
ω² = s/m,
où ω est la fréquence cyclique des oscillations, m est la masse de la charge.
Exprimons la masse de la charge :
m = s/ω²
ω = √(s/m) = √(150/m)
Remplaçons l'expression de ω dans l'équation du mouvement oscillatoire :
x + 20x = 0
21x = 0
x = 0
Puisque le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre au temps t est nul, la masse de la charge est égale à :
м = с/ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²
où T est la période d'oscillation.
On sait que la période d'oscillation est liée à la fréquence cyclique par la relation suivante :
T = 2p/heure
Remplaçons l'expression de ω dans la formule de la masse :
м = 150T²/4π² = 150(2π/ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²м = 150*4/π² м ≈ 7,5 kg.
Réponse : la masse de la charge est de 7,5 kg.
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Problème 13.4.14 de la collection de Kepe O.?. consiste à résoudre l'équation différentielle du mouvement oscillatoire d'une charge suspendue à un ressort. L'équation a la forme x + 20x = 0, où x est le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre au temps t.
Il est nécessaire de déterminer la masse de la charge. La constante du ressort c est de 150 N/m.
Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'utiliser l'équation du mouvement oscillatoire d'un système mécanique :
mx'' + cx' + kx = 0, où m est la masse de la charge, c est le coefficient de frottement visqueux, k est le coefficient de raideur du ressort, x est le déplacement de la charge depuis la position d'équilibre au temps t.
Dans notre cas, étant donné que le coefficient de frottement visqueux est nul, l’équation peut s’écrire :
mx'' + kx = 0
En substituant les valeurs de la condition, on obtient :
mx'' + 150x = 0
L'équation caractéristique de cette équation différentielle a la forme :
ml ^ 2 + 150 = 0
Après l'avoir résolu, nous trouvons les fréquences propres des oscillations du système :
λ1,2 = ±√(150/m)
Le système étant oscillatoire, ses fréquences propres sont déterminées comme suit :
ω = √(k/m)
Il s'ensuit que :
ω = √(150/m)
Par conséquent, la masse de la charge se trouve selon la formule :
m = 150/ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5
Réponse : la masse de la charge est de 7,5.
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Solution 20.2.2 de la collection (livre de résolution) de Kepe O.E. 1989 - Решение задачи 20.2.2Рассмотрим однородный стержень... ...