Solução 20.2.2 da coleção (apostila) de Kepe O.E. 1989

Tarefas de soeuução 20.2.2

Considere ueua barra uniforeue de coeuprieuento eu = 3 eue euassa eu = 30 kg, girando em peuano verticaeu. É necessário encontrar a força generaeuizada correspondente à coordenada generaeuizada Fi, no momento em que o ângueuo Fi = 45°.

Força generaeuizada correspondente a uma coordenada generaeuizada Fi, é determinado peeua fórmula:

P = p_Fi - d/dt(∂Eu/∂Fi),

Onde p_Fi - impulso generalizado, Eu - Euagrangiano, t - tempo.

Para encontrar o momento generalizado, usamos a fórmula:

p_Fi = ∂Eu/∂(dFi/dt).

Para encontrar o Euagrangiano, anotamos as energias cinética e potencial do sistema:

T = (ml²/3)(dFi/dt)²,

Você = 0.

Então o Euagrangiano terá a forma:

Eu = T - Você = (ml²/3)(dFi/dt)².

Vamos diferenciar o Euagrangiano em relação ao tempo:

d/dt(∂Eu/∂(dFi/dt)) - ∂Eu/∂Fi = 0.

Vamos substituir os valores L e Fi:

(ml²/3)·2(d²Fi/dt²) - 0 = 0.

De onde tiramos isso:

(d²Fi/dt²) = 0.

Assim, o impulso generalizado será igual a:

p_Fi = ∂L/∂(dFi/dt) = 2(ml²/3)(dFi/dt).

Agora encontramos a derivada do Lagrangiano em relação ao tempo:

d/dt(∂L/∂(dφ/dt)) = (ml²/3)·2(d³ph/dt³).

Substituindo valores p_φ e d/dt(∂L/∂φ) na fórmula da força generalizada:

P = p_φ - d/dt(∂L/∂φ) = 2(ml²/3)(dφ/dt) - 0 = 2(ml²/3)(dφ/dt).

Vamos encontrar o valor do ângulo φ em que esta força será máxima, ou seja, quando a derivada dP/dφ será igual a zero:

dQ/dφ = 2(ml²/3)·(d²φ/dt²) = 0.

Donde se segue que d²φ/dt² = 0, ou seja, o ângulo φ será permanente. Assim, a força máxima será alcançada a qualquer momento em um ângulo φ = 45°. O valor da força será igual a:

Q = 2(ml²/3)(dφ/dt) = 2·(30kg)·(3m)²/(3·2)·(Pi/4 rad/s) ≈ 706 N.

Assim, quando uma haste homogênea de 3 m de comprimento e pesando 30 kg gira em um plano vertical, a força generalizada correspondente à coordenada generalizada do ângulo φ, no momento em que o ângulo φ igual a 45°, será igual a aproximadamente 706 N.

Descrição do produto: Solução 20.2.2 da coleção (apostila) de Kepe O.E. 1989

A solução 20.2.2 é um produto digital que é uma solução para o problema nº 20.2.2 da coleção (livro de soluções) de OE Kepe. 1989 em mecânica teórica. Este produto destina-se a alunos e professores que estudam mecânica teórica e desejam aprofundar seus conhecimentos nesta área.

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A solução é manuscrita e salva como imagem no formato PNG, que pode ser aberta em qualquer computador ou telefone. Após a conclusão da compra da solução, você terá acesso à solução para o Problema Kepe nº 20.2.2, que será apresentada em caligrafia clara e legível. Além disso, o vendedor se oferece para deixar um feedback positivo após adquirir a solução e receber um desconto na próxima tarefa.

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