Kepe O.E 컬렉션의 문제 13.4.14에 대한 솔루션입니다.

13.4.14 스프링에 매달린 하중의 진동 운동에 대한 미분 방정식은 x + 20엑스 = 0으로 작성됩니다. 스프링 강성 계수 c = 150 N/m인 경우 하중의 질량을 결정하는 것이 필요합니다. (답변 7.5)

답변:

하중의 진동 운동 방정식은 다음과 같습니다.

x + 20엑스 = 0

여기서 x는 시간 t에서 평형 위치로부터의 하중 변위입니다.

방정식의 양변을 x로 나누어 보겠습니다.

1 + 20 = 0

21x = 0

x = 0

따라서 시간 t에서 평형 위치로부터 하중의 변위는 0입니다.

스프링 강성 계수 c = 150 N/m.

진동 운동 방정식으로부터 다음이 알려져 있습니다.

Ω² = s/m,

여기서 Ω는 진동의 주기적 주파수이고, m은 부하의 질량입니다.

하중의 질량을 표현해 보겠습니다.

m = s/Ω²

Ω = √(s/m) = √(150/m)

Ω에 대한 표현을 진동 운동 방정식으로 대체해 보겠습니다.

x + 20x = 0

21x = 0

x = 0

시간 t에서 평형 위치로부터 하중의 변위는 0이므로 하중의 질량은 다음과 같습니다.

м = с/Ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²

여기서 T는 진동 주기입니다.

발진 주기는 다음 관계에 의해 순환 주파수와 관련이 있는 것으로 알려져 있습니다.

T = 2p/h

Ω에 대한 표현을 질량 공식에 대입해 보겠습니다.

м = 150T²/4π² = 150(2π/Ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²м = 150*4/π² м ≒ 7.5kg.

답: 하중의 질량은 7.5kg입니다.

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Kepe O.? 컬렉션의 문제 13.4.14. 스프링에 매달린 하중의 진동 운동에 대한 미분 방정식을 푸는 것으로 구성됩니다. 방정식은 x + 20x = 0 형식을 가지며, 여기서 x는 시간 t에서 평형 위치로부터의 하중 변위입니다.

하중의 질량을 결정하는 것이 필요합니다. 스프링 상수 c는 150N/m입니다.

이 문제를 해결하려면 기계 시스템의 진동 운동 방정식을 사용해야 합니다.

mx'' + cx' + kx = 0, 여기서 m은 하중의 질량, c는 점성 마찰 계수, k는 스프링 강성 계수, x는 시간 t에서 평형 위치로부터 하중의 변위입니다.

우리의 경우 점성 마찰 계수가 0이라고 가정하면 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

mx'' + kx = 0

조건의 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

mх'' + 150x = 0

이 미분 방정식의 특성 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

ml^2 + 150 = 0

이를 해결한 후 시스템 진동의 고유 주파수를 찾습니다.

λ1,2 = ±√(150/m)

시스템은 진동하므로 고유 진동수는 다음과 같이 결정됩니다.

Ω = √(k/m)

다음과 같습니다.

Ω = √(150/m)

따라서 하중의 질량은 다음 공식에 따라 구됩니다.

m = 150/Ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5

답: 하중의 질량은 7.5입니다.

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