13.4.14 Die Differentialgleichung für die Schwingbewegung einer an einer Feder aufgehängten Last lautet x + 20x = 0. Die Masse der Last muss ermittelt werden, wenn der Federsteifigkeitskoeffizient c = 150 N/m beträgt. (Antwort 7.5)
Antwort:
Die Gleichung für die Schwingbewegung der Last lautet:
x + 20x = 0
Dabei ist x die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t.
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch x:
1 + 20 = 0
21x = 0
x = 0
Somit ist die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t Null.
Federsteifigkeitskoeffizient c = 150 N/m.
Aus der Schwingungsgleichung ist bekannt:
ω² = s/m,
wobei ω die zyklische Schwingungsfrequenz ist, m die Masse der Last.
Drücken wir die Masse der Ladung aus:
m = s/ω²
ω = √(s/m) = √(150/m)
Setzen wir den Ausdruck für ω in die Gleichung der Schwingungsbewegung ein:
x + 20x = 0
21x = 0
x = 0
Da die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t Null ist, ist die Masse der Last gleich:
м = с/ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²
wobei T die Schwingungsperiode ist.
Es ist bekannt, dass die Schwingungsperiode durch die folgende Beziehung mit der zyklischen Frequenz zusammenhängt:
T = 2p/h
Ersetzen wir den Ausdruck für ω in der Formel für die Masse:
m = 150T²/4π² = 150(2π/ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²m = 150*4/π² m ≈ 7,5 kg.
Antwort: Die Masse der Ladung beträgt 7,5 kg.
Bei dieser Lösung handelt es sich um ein digitales Produkt, das in unserem digitalen Produktshop erworben werden kann. Es handelt sich um eine Lösung für Problem 13.4.14 aus einer Sammlung physikalischer Probleme, verfasst von O. Kepe.
Das Problem berücksichtigt die Differentialgleichung der Schwingbewegung einer an einer Feder aufgehängten Last und erfordert die Bestimmung der Masse der Last für einen gegebenen Federsteifigkeitskoeffizienten.
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Aufgabe 13.4.14 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die Differentialgleichung der Schwingbewegung einer an einer Feder aufgehängten Last zu lösen. Die Gleichung hat die Form x + 20x = 0, wobei x die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t ist.
Es ist notwendig, die Masse der Ladung zu bestimmen. Die Federkonstante c beträgt 150 N/m.
Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gleichung der Schwingungsbewegung eines mechanischen Systems zu verwenden:
mx'' + cx' + kx = 0, wobei m die Masse der Last ist, c der viskose Reibungskoeffizient ist, k der Federsteifigkeitskoeffizient ist und x die Verschiebung der Last aus der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t ist.
In unserem Fall kann die Gleichung unter der Annahme, dass der viskose Reibungskoeffizient Null ist, wie folgt geschrieben werden:
mx'' + kx = 0
Wenn wir die Werte aus der Bedingung ersetzen, erhalten wir:
mх'' + 150x = 0
Die charakteristische Gleichung dieser Differentialgleichung hat die Form:
ml^2 + 150 = 0
Nachdem wir es gelöst haben, finden wir die Eigenfrequenzen der Schwingungen des Systems:
λ1,2 = ±√(150/m)
Da das System schwingend ist, werden seine Eigenfrequenzen wie folgt bestimmt:
ω = √(k/m)
Es folgt dem:
ω = √(150/m)
Daher wird die Masse der Ladung nach der Formel ermittelt:
m = 150/ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5
Antwort: Die Masse der Ladung beträgt 7,5.
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Lösung 20.2.2 aus der Sammlung (Arbeitsbuch) von Kepe O.E. 1989 - Решение задачи 20.2.2Рассмотрим однородный стержень длиной l = 3 м и массой m = 30 кг, вращающийся в ... ...