13.4.14 L'equazione differenziale per il movimento oscillatorio di un carico sospeso a una molla si scrive come x + 20x = 0. È necessario determinare la massa del carico se il coefficiente di rigidezza della molla c = 150 N/m. (Risposta 7.5)
Risposta:
L'equazione per il movimento oscillatorio del carico è data:
x+20x = 0
dove x è lo spostamento del carico dalla posizione di equilibrio al tempo t.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per x:
1 + 20 = 0
21x = 0
x = 0
Pertanto, lo spostamento del carico dalla posizione di equilibrio al tempo t è zero.
Coefficiente di rigidezza della molla c = 150 N/m.
Dall’equazione del moto oscillatorio si nota che:
ω² = s/m,
dove ω è la frequenza ciclica delle oscillazioni, m è la massa del carico.
Esprimiamo la massa del carico:
m = s/ω²
ω = √(s/m) = √(150/m)
Sostituiamo l'espressione per ω nell'equazione del moto oscillatorio:
x+20x = 0
21x = 0
x = 0
Poiché lo spostamento del carico dalla posizione di equilibrio al tempo t è zero, la massa del carico è pari a:
ì = ñ/ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²
dove T è il periodo di oscillazione.
È noto che il periodo di oscillazione è legato alla frequenza ciclica dalla seguente relazione:
T = 2p/h
Sostituiamo l'espressione per ω nella formula per la massa:
ì = 150T²/4π² = 150(2π/ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²м = 150*4/π² м ≈ 7,5 kg.
Risposta: la massa del carico è 7,5 kg.
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Problema 13.4.14 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel risolvere l'equazione differenziale del moto oscillatorio di un carico sospeso ad una molla. L'equazione ha la forma x + 20x = 0, dove x è lo spostamento del carico dalla posizione di equilibrio al tempo t.
È necessario determinare la massa del carico. La costante elastica c è 150 N/m.
Per risolvere questo problema è necessario utilizzare l'equazione del moto oscillatorio di un sistema meccanico:
mx'' + cx' + kx = 0, dove m è la massa del carico, c è il coefficiente di attrito viscoso, k è il coefficiente di rigidezza della molla, x è lo spostamento del carico dalla posizione di equilibrio al tempo t.
Nel nostro caso, dato che il coefficiente di attrito viscoso è zero, l’equazione può essere scritta come:
mx'' + kx = 0
Sostituendo i valori della condizione, otteniamo:
mх'' + 150x = 0
L'equazione caratteristica di questa equazione differenziale ha la forma:
ml^2 + 150 = 0
Avendolo risolto, troviamo le frequenze naturali delle oscillazioni del sistema:
λ1,2 = ±√(150/m)
Poiché il sistema è oscillatorio, le sue frequenze naturali sono determinate come segue:
ω = √(k/m)
Ne consegue che:
ω = √(150/m)
Pertanto, la massa del carico si trova secondo la formula:
m = 150/ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5
Risposta: la massa del carico è 7,5.
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