13.4.14 La ecuación diferencial para el movimiento oscilatorio de una carga suspendida de un resorte se escribe como x + 20x = 0. Es necesario determinar la masa de la carga si el coeficiente de rigidez del resorte c = 150 N/m. (Respuesta 7.5)
Respuesta:
La ecuación para el movimiento oscilatorio de la carga está dada:
x + 20x = 0
donde x es el desplazamiento de la carga desde la posición de equilibrio en el momento t.
Dividamos ambos lados de la ecuación por x:
1 + 20 = 0
21x = 0
x = 0
Por tanto, el desplazamiento de la carga desde la posición de equilibrio en el tiempo t es cero.
Coeficiente de rigidez elástica c = 150 N/m.
De la ecuación del movimiento oscilatorio se sabe que:
ω² = s/m,
donde ω es la frecuencia cíclica de las oscilaciones, m es la masa de la carga.
Expresemos la masa de la carga:
metro = s/ω²
ω = √(s/m) = √(150/m)
Sustituyamos la expresión de ω en la ecuación del movimiento oscilatorio:
x + 20x = 0
21x = 0
x = 0
Dado que el desplazamiento de la carga desde la posición de equilibrio en el tiempo t es cero, la masa de la carga es igual a:
м = с/ω² = 150/((2π/T)^2) = 150/(4π²/T²) = 150T²/4π²
donde T es el período de oscilación.
Se sabe que el período de oscilación está relacionado con la frecuencia cíclica mediante la siguiente relación:
T = 2p/h
Sustituyamos la expresión de ω en la fórmula de masa:
м = 150T²/4π² = 150(2π/ω)²/4π² = 150(2π)²/4π²м = 150*4/π² м ≈ 7,5 kg.
Respuesta: la masa de la carga es 7,5 kg.
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El problema considera la ecuación diferencial del movimiento oscilatorio de una carga suspendida de un resorte y requiere determinar la masa de la carga para un coeficiente de rigidez del resorte dado.
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Problema 13.4.14 de la colección de Kepe O.?. Consiste en resolver la ecuación diferencial del movimiento oscilatorio de una carga suspendida de un resorte. La ecuación tiene la forma x + 20x = 0, donde x es el desplazamiento de la carga desde la posición de equilibrio en el tiempo t.
Es necesario determinar la masa de la carga. La constante del resorte c es 150 N/m.
Para resolver este problema es necesario utilizar la ecuación del movimiento oscilatorio de un sistema mecánico:
mx'' + cx' + kx = 0, donde m es la masa de la carga, c es el coeficiente de fricción viscosa, k es el coeficiente de rigidez del resorte, x es el desplazamiento de la carga desde la posición de equilibrio en el tiempo t.
En nuestro caso, dado que el coeficiente de fricción viscosa es cero, la ecuación se puede escribir como:
mx'' + kx = 0
Sustituyendo los valores de la condición, obtenemos:
mх'' + 150x = 0
La ecuación característica de esta ecuación diferencial tiene la forma:
ml^2 + 150 = 0
Resuelto, encontramos las frecuencias naturales de oscilaciones del sistema:
λ1,2 = ±√(150/m)
Como el sistema es oscilatorio, sus frecuencias naturales se determinan de la siguiente manera:
ω = √(k/metro)
Resulta que:
ω = √(150/m)
Por tanto, la masa de la carga se encuentra según la fórmula:
m = 150/ω^2 = 150/(150/m) = m = 7,5
Respuesta: la masa de la carga es 7,5.
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Solución 20.2.2 de la colección (libro de trabajo) de Kepe O.E. 1989 - Решение задачи 20.2.2Рассмотрим однородный стержень... ...