Solução para o problema 13.3.7 da coleção de Kepe O.E.

13.3.7 Solução do problema do movimento de um ponto material ao longo de uma trajetória curvilínea Dado: $m = 5\text{ kg}$, $F_{\text{tan}} = 7\text{ N}$, $F_{\text{n}} = 0,1t^2$ em $t = 12\text{ s}$ Encontre: módulo de aceleração de um ponto Solução: O módulo de aceleração de um ponto é determinado pela fórmula: $a = \sqrt{(F_{\text{tan}}/m)^2 + (F_ {\text{n }}/m)^2}$ Substituindo os valores conhecidos, obtemos: $a = \sqrt{(7/5)^2 + (0.1\cdot 12^2/5)^2} \ aproximadamente \boxed{3 .20}$ Resposta: 3.20.

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O livro "Coleção de problemas para o curso de matemática superior" de Kepe O.?. contém problemas e suas soluções em vários ramos da matemática. O Problema 13.3.7 desta coleção pertence ao Capítulo 13 “Equações Diferenciais”, seção 13.3 “Equações Diferenciais Lineares de Enésima Ordem com Coeficientes Constantes”. Para resolvê-lo, é necessário utilizar o método dos coeficientes indefinidos. A solução para um problema é uma sequência de operações matemáticas que levam a encontrar uma solução geral para a equação. A solução para este problema pode ser útil para estudantes e professores de matemática superior que estudam este ramo da matemática.

Problema 13.3.7 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:

Um ponto material com massa de 5 kg se move ao longo de uma trajetória curva sob a influência de uma força, cuja projeção na tangente é de 7 N, e na normal - 0,1t². É necessário encontrar o módulo de aceleração de um ponto no tempo t = 12 s.

Para resolver este problema é necessário utilizar as leis de Newton. Como a força é decomposta em projeções na tangente e na normal, a aceleração do ponto consiste nas componentes tangente e normal. A aceleração tangencial pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton: F = mãe, onde F é a componente tangencial da força, m é a massa do ponto, a é a aceleração tangencial.

Assim, a aceleração tangencial de um ponto no tempo t pode ser encontrada usando a fórmula: a? =F? /m onde está F? = 7 N - projeção de força na tangente.

A aceleração normal pode ser encontrada sabendo que é igual ao produto da curvatura da trajetória pelo quadrado da velocidade do ponto. A curvatura da trajetória pode ser encontrada usando a derivada do ângulo de inclinação da tangente à trajetória. Assim, a aceleração normal de um ponto no tempo t pode ser encontrada pela fórmula: um = v² / R, onde v é a velocidade do ponto, R é o raio de curvatura da trajetória.

Como a velocidade do ponto é desconhecida, ela pode ser encontrada usando a equação do movimento relativo à coordenada. Então você pode encontrar a curvatura do caminho e o raio de curvatura. A curvatura da trajetória é igual à segunda derivada da coordenada y em relação a x: k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2), onde y' e y'' são a primeira e a segunda derivadas da coordenada y em relação a x.

O raio de curvatura da trajetória pode ser encontrado usando a fórmula: R = 1/k.

Assim, após encontrar a velocidade, curvatura da trajetória e raio de curvatura, é possível encontrar a aceleração normal do ponto. Então você pode encontrar a aceleração total do ponto como a soma vetorial das acelerações tangente e normal e encontrar seu módulo, que é a resposta desejada.

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