Solution au problème 13.3.7 de la collection Kepe O.E.

13.3.7 Solution du problème du mouvement d'un point matériel le long d'une trajectoire curviligne Étant donné : $m = 5\text{ kg}$, $F_{\text{tan}} = 7\text{ N}$, $F_{\text{n}} = 0,1t^2$ à $t = 12\text{ s}$ Trouver : module d'accélération d'un point Solution : Le module d'accélération d'un point est déterminé par la formule : $a = \sqrt{(F_{\text{tan}}/m)^2 + (F_ {\text{n }}/m)^2}$ En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons : $a = \sqrt{(7/5)^2 + (0.1\cdot 12^2/5)^2} \ environ \boxed{3 .20}$ Réponse : 3.20.

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Le livre "Collection de problèmes pour le cours de mathématiques supérieures" de Kepe O.?. contient des problèmes et leurs solutions dans diverses branches des mathématiques. Le problème 13.3.7 de cette collection appartient au chapitre 13 « Équations différentielles », section 13.3 « Équations différentielles linéaires du nième ordre à coefficients constants ». Pour le résoudre, il faut utiliser la méthode des coefficients indéfinis. La solution d'un problème est une séquence d'opérations mathématiques conduisant à trouver une solution générale à l'équation. La solution à ce problème peut être utile aux étudiants et aux professeurs de mathématiques supérieures qui étudient cette branche des mathématiques.

Problème 13.3.7 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :

Un point matériel d'une masse de 5 kg se déplace le long d'une trajectoire courbe sous l'influence d'une force dont la projection sur la tangente est de 7 N et sur la normale - 0,1t². Il faut trouver le module d'accélération d'un point au temps t = 12 s.

Pour résoudre ce problème, il faut utiliser les lois de Newton. Puisque la force est décomposée en projections sur la tangente et la normale, l'accélération du point est constituée des composantes tangente et normale. L'accélération tangentielle peut être trouvée à l'aide de la deuxième loi de Newton : F = ma, où F est la composante tangentielle de la force, m est la masse du point, a est l'accélération tangentielle.

Ainsi, l'accélération tangentielle d'un point à l'instant t peut être trouvée à l'aide de la formule : un? =F? /m où est F ? = 7 N - projection de force sur la tangente.

L'accélération normale peut être trouvée sachant qu'elle est égale au produit de la courbure de la trajectoire et du carré de la vitesse du point. La courbure de la trajectoire peut être trouvée à l'aide de la dérivée de l'angle d'inclinaison de la tangente à la trajectoire. Ainsi, l'accélération normale d'un point au temps t peut être trouvée par la formule : an = v² / R, où v est la vitesse du point, R est le rayon de courbure de la trajectoire.

Puisque la vitesse du point est inconnue, elle peut être trouvée en utilisant l'équation du mouvement par rapport aux coordonnées. Ensuite, vous pouvez trouver la courbure du chemin et le rayon de courbure. La courbure de la trajectoire est égale à la dérivée seconde de la coordonnée y par rapport à x : k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2), où y' et y'' sont les dérivées première et seconde de la coordonnée y par rapport à x.

Le rayon de courbure de la trajectoire peut être trouvé à l'aide de la formule : R = 1/k.

Ainsi, après avoir trouvé la vitesse, la courbure de la trajectoire et le rayon de courbure, vous pouvez trouver l'accélération normale du point. Ensuite, vous pouvez trouver l'accélération totale du point comme somme vectorielle des accélérations tangente et normale et trouver son module, qui est la réponse souhaitée.

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