Solución al problema 13.3.7 de la colección de Kepe O.E.

13.3.7 Solución del problema del movimiento de un punto material a lo largo de una trayectoria curvilínea. Dado: $m = 5\text{ kg}$, $F_{\text{tan}} = 7\text{ N}$, $F_{\text{n}} = 0.1t^2$ en $t = 12\text{ s}$ Encuentra: módulo de aceleración de un punto Solución: El módulo de aceleración de un punto está determinado por la fórmula: $a = \sqrt{(F_{\text{tan}}/m)^2 + (F_ {\text{n }}/m)^2}$ Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos: $a = \sqrt{(7/5)^2 + (0.1\cdot 12^2/5)^2} \ aprox \boxed{3 .20}$ Respuesta: 3.20.

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El libro "Colección de problemas para el curso de matemáticas superiores" de Kepe O.?. Contiene problemas y sus soluciones en diversas ramas de las matemáticas. El problema 13.3.7 de esta colección pertenece al Capítulo 13 “Ecuaciones diferenciales”, sección 13.3 “Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden con coeficientes constantes”. Para resolverlo es necesario utilizar el método de coeficientes indefinidos. La solución de un problema es una secuencia de operaciones matemáticas que conducen a encontrar una solución general a la ecuación. La solución a este problema puede resultar útil para estudiantes y profesores de matemáticas superiores que estudien esta rama de las matemáticas.

Problema 13.3.7 de la colección de Kepe O.?. se formula de la siguiente manera:

Un punto material con una masa de 5 kg se mueve a lo largo de una trayectoria curva bajo la influencia de una fuerza, cuya proyección en la tangente es de 7 N y en la normal, 0,1 t². Es necesario encontrar el módulo de aceleración de un punto en el instante t = 12 s.

Para resolver este problema es necesario utilizar las leyes de Newton. Dado que la fuerza se descompone en proyecciones sobre la tangente y la normal, la aceleración del punto consta de las componentes tangente y normal. La aceleración tangencial se puede encontrar utilizando la segunda ley de Newton: F = mamá, donde F es la componente tangencial de la fuerza, m es la masa del punto, a es la aceleración tangencial.

Por tanto, la aceleración tangencial de un punto en el tiempo t se puede encontrar mediante la fórmula: ¿a? =¿F? /metro ¿Dónde está F? = 7 N - proyección de fuerza sobre la tangente.

La aceleración normal se puede encontrar sabiendo que es igual al producto de la curvatura de la trayectoria por el cuadrado de la velocidad del punto. La curvatura de la trayectoria se puede encontrar utilizando la derivada del ángulo de inclinación de la tangente a la trayectoria. Por tanto, la aceleración normal de un punto en el tiempo t se puede encontrar mediante la fórmula: an = v² / R, donde v es la velocidad del punto, R es el radio de curvatura de la trayectoria.

Como se desconoce la velocidad del punto, se puede encontrar usando la ecuación de movimiento relativo a la coordenada. Luego puedes encontrar la curvatura del camino y el radio de curvatura. La curvatura de la trayectoria es igual a la segunda derivada de la coordenada y con respecto a x: k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2), donde y' e y'' son las derivadas primera y segunda de la coordenada y con respecto a x.

El radio de curvatura de la trayectoria se puede encontrar mediante la fórmula: R = 1/k.

Así, después de encontrar la velocidad, la curvatura de la trayectoria y el radio de curvatura, se puede encontrar la aceleración normal del punto. Luego puedes encontrar la aceleración total del punto como la suma vectorial de las aceleraciones tangente y normal y encontrar su módulo, que es la respuesta deseada.

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