Kepe O.E. のコレクションからの問題 13.3.7 の解決策

13.3.7 曲線軌道に沿った質点の移動の問題の解決 与えられた場合: $m = 5\text{ kg}$、$F_{\text{tan}} = 7\text{ N}$、$F_{\text{n}} = 0.1t^2$ at $t = 12\text{ s}$ 検索: 点の加速係数 解法: 点の加速係数は次の式で求められます: $a = \sqrt{(F_{\text{tan}}/m)^2 + (F_ {\text{n }}/m)^2}$ 既知の値を代入すると、次のようになります: $a = \sqrt{(7/5)^2 + (0.1\cdot 12^2/5)^2} \約 \boxed{3 .20}$ 答え: 3.20。

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Kepe O.?著「高等数学コース用問題集」という本。数学のさまざまな分野の問題とその解決策が含まれています。このコレクションの問題 13.3.7 は、第 13 章「微分方程式」、セクション 13.3「定数係数をもつ n 次の線形微分方程式」に属します。これを解決するには、不定係数法を使用する必要があります。問題の解決策は、方程式の一般的な解を見つける一連の数学的演算です。この問題の解決策は、この分野の数学を研究する高等数学の生徒や教師にとって役立ちます。

Kepe O.? のコレクションからの問題 13.3.7。は次のように定式化されます。

質量5 kgの物質点は、力の影響下で曲線経路に沿って移動します。その接線上の投影は7 N、法線上の投影は0.1t²です。時間 t = 12 秒における点の加速係数を見つける必要があります。

この問題を解決するには、ニュートンの法則を使用する必要があります。力は接線と法線への投影に分解されるため、点の加速度は接線と法線の成分で構成されます。接線加速度は、ニュートンの第 2 法則を使用して求めることができます。 F = マ、 ここで、F は力の接線方向の成分、m は点の質量、a は接線方向の加速度です。

したがって、時間 t における点の接線加速度は、次の式を使用して求めることができます。 え？ =F? /分 Fはどこですか？ = 7 N - 接線への力の投影。

通常の加速度は、軌道の曲率と点の速度の 2 乗の積に等しいことがわかっているため、求めることができます。軌道の曲率は、軌道の接線の傾斜角の導関数を使用して求めることができます。したがって、時間 t における点の法線加速度は次の式で求められます。 an = v² / R、 ここで、v は点の速度、R は軌道の曲率半径です。

点の速度は未知であるため、座標に対する運動方程式を使用して求めることができます。次に、パスの曲率と曲率半径を見つけることができます。軌道の曲率は、x に関する y 座標の二次導関数に等しくなります。 k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2)、 ここで、y' と y'' は、x に関する y 座標の一次導関数と二次導関数です。

軌道の曲率半径は次の式で求められます。 R = 1/k。

したがって、速度、軌道の曲率、曲率半径を求めた後、その点の法線加速度を見つけることができます。次に、点の合計加速度を接線加速度と法線加速度のベクトル和として求め、その係数を求めることができます。これが望ましい答えです。

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