Lösung zu Aufgabe 13.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

13.3.7 Lösung des Problems der Bewegung eines materiellen Punktes entlang einer krummlinigen Flugbahn Gegeben: $m = 5\text{ kg}$, $F_{\text{tan}} = 7\text{ N}$, $F_{\text{n}} = 0,1t^2$ bei $t = 12\text{ s}$ Finden: Beschleunigungsmodul eines Punktes Lösung: Der Beschleunigungsmodul eines Punktes wird durch die Formel bestimmt: $a = \sqrt{(F_{\text{tan}}/m)^2 + (F_ {\text{n }}/m)^2}$ Ersetzen wir die bekannten Werte, erhalten wir: $a = \sqrt{(7/5)^2 + (0,1\cdot 12^2/5)^2} \ ca. \boxed{3 .20}$ Antwort: 3.20.

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Das Buch „Aufgabensammlung für das Studium der höheren Mathematik“ von Kepe O.?. enthält Probleme und deren Lösungen in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik. Aufgabe 13.3.7 aus dieser Sammlung gehört zum Kapitel 13 „Differentialgleichungen“, Abschnitt 13.3 „Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten“. Um es zu lösen, muss die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwendet werden. Die Lösung eines Problems ist eine Folge mathematischer Operationen, die dazu führen, eine allgemeine Lösung der Gleichung zu finden. Die Lösung dieses Problems kann für Studierende und Lehrer der höheren Mathematik, die diesen Zweig der Mathematik studieren, nützlich sein.

Aufgabe 13.3.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

Ein materieller Punkt mit einer Masse von 5 kg bewegt sich unter dem Einfluss einer Kraft auf einer gekrümmten Bahn, deren Projektion auf die Tangente 7 N und auf die Normale 0,1 t² beträgt. Es ist notwendig, den Beschleunigungsmodul eines Punktes zum Zeitpunkt t = 12 s zu ermitteln.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Newtonschen Gesetze zu verwenden. Da die Kraft in Projektionen auf die Tangente und die Normale zerlegt wird, besteht die Beschleunigung des Punktes aus der Tangenten- und der Normalenkomponente. Die Tangentialbeschleunigung kann mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ermittelt werden: F = ma, Dabei ist F die Tangentialkomponente der Kraft, m die Masse des Punktes und a die Tangentialbeschleunigung.

Somit kann die Tangentialbeschleunigung eines Punktes zum Zeitpunkt t mit der Formel ermittelt werden: A? =F? /M Wo ist F? = 7 N - Kraftprojektion auf die Tangente.

Die Normalbeschleunigung kann ermittelt werden, wenn man weiß, dass sie dem Produkt aus der Krümmung der Flugbahn und dem Quadrat der Geschwindigkeit des Punktes entspricht. Die Krümmung der Flugbahn kann mithilfe der Ableitung des Neigungswinkels der Tangente an die Flugbahn ermittelt werden. Somit kann die Normalbeschleunigung eines Punktes zum Zeitpunkt t durch die Formel ermittelt werden: an = v² / R, Dabei ist v die Geschwindigkeit des Punktes und R der Krümmungsradius der Flugbahn.

Da die Geschwindigkeit des Punktes unbekannt ist, kann sie mithilfe der Bewegungsgleichung relativ zur Koordinate ermittelt werden. Dann können Sie die Krümmung des Pfades und den Krümmungsradius ermitteln. Die Krümmung der Flugbahn ist gleich der zweiten Ableitung der y-Koordinate nach x: k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2), Dabei sind y' und y'' die ersten und zweiten Ableitungen der y-Koordinate nach x.

Der Krümmungsradius der Flugbahn kann mit der Formel ermittelt werden: R = 1/k.

Nachdem Sie also die Geschwindigkeit, die Krümmung der Flugbahn und den Krümmungsradius ermittelt haben, können Sie die Normalbeschleunigung des Punktes ermitteln. Dann können Sie die Gesamtbeschleunigung des Punktes als Vektorsumme der Tangenten- und Normalbeschleunigungen ermitteln und seinen Modul ermitteln, was die gewünschte Antwort ist.

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