IDZ Ryabushko 3.2 Opção 6

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Nº 1 Para resolver o problema, precisamos de uma fórmula para encontrar a distância entre dois pontos em um plano:

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

a) Para encontrar a equação do lado AB, encontre as coordenadas dos pontos A e B:

UMA(-2, -3); B(1, 6)

Vamos encontrar a distância entre os pontos A e B:

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

A equação para o lado AB é:

(x₁ - x₂)y + (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

Substitua as coordenadas dos pontos A e B:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

b) Para encontrar a equação da altura de CH, encontramos as coordenadas do ponto H, que é a intersecção da altura de CH e do lado AB. Para fazer isso, encontre a equação da reta AB e as coordenadas do ponto H:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

A equação da reta AB é:

y = (3/9)x + (20/9)

Como a altura CH passa pelo ponto C e é perpendicular ao lado AB, a inclinação da altura é -3/9 = -1/3. Usando as coordenadas do ponto C e o coeficiente angular da altura, encontramos a equação para a altura de CH:

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) Para encontrar a equação da mediana AM, vamos encontrar as coordenadas do ponto M, que é o ponto médio do lado AB. Para fazer isso, encontramos a média aritmética das coordenadas dos pontos A e B:

x = (-2 + 1)/2 = -0,5; y = (-3 + 6)/2 = 1,5

O ponto M tem coordenadas (-0,5, 1,5). A equação da mediana AM passa pelos pontos A e M, então usamos a fórmula para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos dados:

y - (-3) = ((1,5 - (-3))/(-0,5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4,5/1,5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) Para encontrar o ponto de intersecção da mediana AM e da altura CH, resolvemos o sistema de equações:

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

Resolvendo o sistema, obtemos as coordenadas do ponto N:

x = 1; y = 4

O ponto N tem coordenadas (1, 4).

e) Para encontrar a equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB, encontramos a inclinação do lado AB:

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

Como a reta desejada passa pelo ponto C, a equação da reta tem a forma:

y - 1 = 3 (x - 6)

y = 3x - 17

f) Para encontrar a distância do ponto C à linha AB, usamos a fórmula:

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), onde x₀ e y₀ são as coordenadas do ponto C; a, b e c são os coeficientes da equação da reta AB.

Substitua os valores na fórmula:

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3.

Assim, a distância do ponto C à linha AB é 2√10/3.

Nº 2 Para provar que o quadrilátero ABCD é um trapézio, é necessário verificar se os ângulos entre os lados paralelos são iguais (esta propriedade é chamada de propriedade das bases de um trapézio), ou seja, ∠A = ∠C e ∠B = ∠D.

Vamos encontrar as equações dos lados AD e BC usando a fórmula para encontrar a distância entre dois pontos em um plano:

DE ANÚNCIOS: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-5-3)² + (5-6)²) = √74

BC: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((5-(-1))² + (2-(-3))²) = √65

Como os lados AD e BC não são iguais, o quadrilátero ABCD não é um trapézio isósceles.

Resta verificar se os ângulos entre os lados paralelos são iguais:

∠А = arcog((5-6)/(-5-3)) ≈ 128,66°

∠С = arcog((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128,66°

∠В = arcog((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41,19°

∠D = arcog((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41,19°

Assim, ∠A = ∠C e ∠B = ∠D, o que confirma que ABCD é um trapézio.

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