IDZ Ryabushko 3.2 Opción 6

No. 1 Para resolver el problema, necesitamos una fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano:

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

a) Para encontrar la ecuación del lado AB, encuentre las coordenadas de los puntos A y B:

A(-2, -3); B(1, 6)

Encontremos la distancia entre los puntos A y B:

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

La ecuación del lado AB es:

(x₁ - x₂)y + (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

Sustituye las coordenadas de los puntos A y B:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

b) Para encontrar la ecuación para la altura de CH, encontramos las coordenadas del punto H, que es la intersección de la altura de CH y el lado AB. Para ello, encuentra la ecuación de la recta AB y las coordenadas del punto H:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

La ecuación de la recta AB es:

y = (3/9)x + (20/9)

Como la altura CH pasa por el punto C y es perpendicular al lado AB, la pendiente de la altura es -3/9 = -1/3. Usando las coordenadas del punto C y el coeficiente angular de la altura, encontramos la ecuación para la altura de CH:

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) Para encontrar la ecuación de la mediana AM, encontremos las coordenadas del punto M, que es el punto medio del lado AB. Para ello encontramos la media aritmética de las coordenadas de los puntos A y B:

x = (-2 + 1)/2 = -0,5; y = (-3 + 6)/2 = 1,5

El punto M tiene coordenadas (-0,5, 1,5). La ecuación de la mediana AM pasa por los puntos A y M, por lo que usamos la fórmula para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados:

y - (-3) = ((1,5 - (-3))/(-0,5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4,5/1,5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) Para encontrar el punto de intersección de la mediana AM y la altura CH, resolvemos el sistema de ecuaciones:

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

Resolviendo el sistema, obtenemos las coordenadas del punto N:

x = 1; y = 4

El punto N tiene coordenadas (1, 4).

e) Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB, encontramos la pendiente del lado AB:

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

Dado que la recta deseada pasa por el punto C, la ecuación de la recta tiene la forma:

y - 1 = 3(x - 6)

y = 3x - 17

f) Para encontrar la distancia del punto C a la recta AB, utilizamos la fórmula:

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), donde x₀ e y₀ son las coordenadas del punto C; a, byc son los coeficientes de la ecuación de la recta AB.

Sustituye los valores en la fórmula:

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3.

Por tanto, la distancia del punto C a la recta AB es 2√10/3.

No. 2 Para demostrar que el cuadrilátero ABCD es un trapezoide, es necesario comprobar que los ángulos entre lados paralelos son iguales (esta propiedad se llama propiedad de las bases de un trapezoide), es decir, ∠A = ∠C y ∠B = ∠D.

Encontremos las ecuaciones de los lados AD y BC usando la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano:

ANUNCIO: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-5-3)² + (5-6)²) = √74

Antes de Cristo: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((5-(-1))² + (2-(-3))²) = √65

Como los lados AD y BC no son iguales, el cuadrilátero ABCD no es un trapecio isósceles.

Queda por comprobar que los ángulos entre lados paralelos son iguales:

∠А = arctg((5-6)/(-5-3)) ≈ 128,66°

∠С = arctg((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128,66°

∠В = arctg((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41,19°

∠D = arctg((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41,19°

Así, ∠A = ∠C y ∠B = ∠D, lo que confirma que ABCD es un trapezoide.

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