IDZ リャブシュコ 3.2 オプション 6

No. 1 この問題を解決するには、平面上の 2 点間の距離を求める公式が必要です。

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

a) 辺 AB の方程式を求めるには、点 A と B の座標を求めます。

A(-2, -3); B(1,6)

点 A と点 B の間の距離を求めてみましょう。

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

辺 AB の方程式は次のとおりです。

(x₁ - x₂)y + (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

点 A と B の座標を代入します。

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

b) CH の高さの方程式を求めるには、CH の高さと辺 AB の交点である点 H の座標を求めます。これを行うには、線分 AB の方程式と点 H の座標を求めます。

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

直線 AB の方程式は次のとおりです。

y = (3/9)x + (20/9)

高さ CH は点 C を通り、辺 AB に垂直であるため、高さの傾きは -3/9 = -1/3 となります。点 C の座標と高さの角度係数を使用して、CH の高さの方程式を求めます。

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) 中央値 AM の方程式を求めるために、辺 AB の中点である点 M の座標を求めます。これを行うには、点 A と B の座標の算術平均を求めます。

x = (-2 + 1)/2 = -0.5; y = (-3 + 6)/2 = 1.5

点 M の座標は (-0.5, 1.5) です。中央値 AM の方程式は点 A と M を通過するため、この公式を使用して、指定された 2 つの点を通過する直線の方程式を求めます。

y - (-3) = ((1.5 - (-3))/(-0.5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4.5/1.5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) 中央値 AM と高さ CH の交点を見つけるために、連立方程式を解きます。

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

この系を解くと、点 N の座標が得られます。

x = 1; y = 4

点 N の座標は (1, 4) です。

e) 頂点 C を通り辺 AB に平行な直線の方程式を求めるには、辺 AB の傾きを求めます。

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

目的の直線は点 C を通過するため、直線の方程式は次の形式になります。

y - 1 = 3(x - 6)

y = 3x - 17

f) 点 C から線 AB までの距離を求めるには、次の式を使用します。

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)、ここで x₀ と y₀ は点 C の座標です。 a、b、c は直線 AB の方程式の係数です。

値を式に代入します。

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3。

したがって、点 C から線分 AB までの距離は 2√10/3 となります。

No.2 四角形ABCDが台形であることを証明するには、平行な辺間の角度が等しいこと（この性質を台形の底辺の性質といいます）、つまり∠A = ∠C、および∠B = ∠D。

平面上の 2 点間の距離を求める公式を使用して、辺 AD と辺 BC の方程式を求めてみましょう。

AD: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-5-3)² + (5-6)²) = √74

BC: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((5-(-1))² + (2-(-3))²) = √65

辺ADと辺BCは等しくないので、四角形ABCDは等脚台形ではありません。

平行な辺間の角度が等しいことを確認する必要があります。

∠А = arctg((5-6)/(-5-3)) ≈ 128.66°

∠С = arctg((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128.66°

∠В = arctg((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41.19°

∠D = arctg((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41.19°

したがって、∠A = ∠C および ∠B = ∠D となり、ABCD が台形であることが確認されます。

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