IDZ Ryabushko 3.2 选项 6

1.为了解决这个问题，我们需要一个计算平面上两点之间距离的公式：

d = √((x2-x₁)2 + (y2-y1)2)

a) 求AB边的方程，求出A点和B点的坐标：

A(-2,-3); B(1, 6)

让我们求出 A 点和 B 点之间的距离：

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

AB 边的方程为：

(x₁ - x2)y + (y2 - y₁)x + (x₁y2 - x2y₁) = 0

将A点和B点的坐标代入：

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

b) 为了找到CH高度的方程，我们找到H点的坐标，它是CH高度与边AB的交点。为此，请找到直线 AB 和点 H 的坐标的方程：

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

AB线的方程为：

y = (3/9)x + (20/9)

由于高度CH经过点C并垂直于边AB，因此高度的斜率为-3/9 = -1/3。利用C点的坐标和高度的角度系数，我们找到CH高度的方程：

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) 为了找到中值AM的方程，我们需要找到M点的坐标，它是边AB的中点。为此，我们求 A 点和 B 点坐标的算术平均值：

x = (-2 + 1)/2 = -0.5; y = (-3 + 6)/2 = 1.5

点 M 的坐标为 (-0.5, 1.5)。中值AM的方程经过A点和M点，因此我们用公式求出经过两个给定点的直线方程：

y - (-3) = ((1.5 - (-3))/(-0.5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4.5/1.5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) 为了找到中值 AM 和高度 CH 的交点，我们求解方程组：

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

对方程组进行求解，得到N点的坐标：

x = 1; y = 4

点 N 的坐标为 (1, 4)。

e) 求通过顶点 C 并平行于边 AB 的直线方程，我们求边 AB 的斜率：

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

由于所需直线经过 C 点，因此直线方程的形式为：

y - 1 = 3(x - 6)

y = 3x - 17

f) 为了求出 C 点到 AB 线的距离，我们使用以下公式：

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)，其中x₀和y₀是C点的坐标； a、b、c是AB线方程的系数。

将数值代入公式：

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3。

因此，点 C 到直线 AB 的距离为 2√10/3。

No.2 要证明四边形ABCD是梯形，需要检验平行边之间的夹角是否相等（这个性质称为梯形的底性质），即∠A = ∠C且∠B = ∠D。

让我们使用求平面上两点之间距离的公式来求 AD 和 BC 边的方程：

AD: d = √((x2-x₁)2 + (y2-y1)2) = √((-5-3)2 + (5-6)2) = √74

BC: d = √((x2-x₁)2 + (y2-y1)2) = √((5-(-1))2 + (2-(-3))2) = √65

由于边 AD 和 BC 不相等，所以四边形 ABCD 不是等腰梯形。

仍然需要检查平行边之间的角度是否相等：

∠А = arctg((5-6)/(-5-3)) ≈ 128.66°

∠С = arctg((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128.66°

∠В = arctg((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41.19°

∠D = arctg((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41.19°

因此，∠A = ∠C，∠B = ∠D，证明ABCD是梯形。

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