IDZ Ryabushko 3.2 Option 6

Nr. 1 Um das Problem zu lösen, benötigen wir eine Formel, um den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Ebene zu ermitteln:

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

a) Um die Gleichung der Seite AB zu finden, ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte A und B:

A(-2, -3); B(1, 6)

Lassen Sie uns den Abstand zwischen den Punkten A und B ermitteln:

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

Die Gleichung für Seite AB lautet:

(x₁ - x₂)y + (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

Ersetzen Sie die Koordinaten der Punkte A und B:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

b) Um die Gleichung für die Höhe von CH zu finden, ermitteln wir die Koordinaten des Punktes H, der der Schnittpunkt der Höhe von CH und der Seite AB ist. Finden Sie dazu die Gleichung der Geraden AB und die Koordinaten des Punktes H:

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9y + 3x + 20 = 0

Die Gleichung der Geraden AB lautet:

y = (3/9)x + (20/9)

Da die Höhe CH durch den Punkt C verläuft und senkrecht zur Seite AB verläuft, beträgt die Steigung der Höhe -3/9 = -1/3. Unter Verwendung der Koordinaten des Punktes C und des Winkelkoeffizienten der Höhe finden wir die Gleichung für die Höhe von CH:

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) Um die Gleichung des Medians AM zu finden, ermitteln wir die Koordinaten des Punktes M, der der Mittelpunkt der Seite AB ist. Dazu ermitteln wir das arithmetische Mittel der Koordinaten der Punkte A und B:

x = (-2 + 1)/2 = -0,5; y = (-3 + 6)/2 = 1,5

Punkt M hat Koordinaten (-0,5, 1,5). Die Gleichung des Medians AM verläuft durch die Punkte A und M, daher verwenden wir die Formel, um die Gleichung einer geraden Linie zu finden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft:

y - (-3) = ((1,5 - (-3))/(-0,5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4,5/1,5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) Um den Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH zu finden, lösen wir das Gleichungssystem:

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

Wenn wir das System lösen, erhalten wir die Koordinaten des Punktes N:

x = 1; y = 4

Punkt N hat die Koordinaten (1, 4).

e) Um die Gleichung einer geraden Linie zu finden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, ermitteln wir die Steigung der Seite AB:

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

Da die gewünschte Gerade durch den Punkt C verläuft, hat die Geradengleichung die Form:

y - 1 = 3(x - 6)

y = 3x - 17

f) Um den Abstand vom Punkt C zur Linie AB zu ermitteln, verwenden wir die Formel:

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), wobei x₀ und y₀ die Koordinaten von Punkt C sind; a, b und c sind die Koeffizienten der Gleichung der Geraden AB.

Setzen Sie die Werte in die Formel ein:

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3.

Somit beträgt der Abstand vom Punkt C zur Linie AB 2√10/3.

Nr. 2 Um zu beweisen, dass das Viereck ABCD ein Trapez ist, muss überprüft werden, ob die Winkel zwischen parallelen Seiten gleich sind (diese Eigenschaft wird als Eigenschaft der Basen eines Trapezes bezeichnet), d. h. ∠A = ∠C und ∠B = ∠D.

Finden wir die Gleichungen der Seiten AD und BC mithilfe der Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen zwei Punkten auf einer Ebene:

AD: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-5-3)² + (5-6)²) = √74

BC: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((5-(-1))² + (2-(-3))²) = √65

Da die Seiten AD und BC nicht gleich sind, ist das Viereck ABCD kein gleichschenkliges Trapez.

Es bleibt zu prüfen, ob die Winkel zwischen parallelen Seiten gleich sind:

∠А = arctg((5-6)/(-5-3)) ≈ 128,66°

∠С = arctg((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128,66°

∠В = arctg((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41,19°

∠D = arctg((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41,19°

Somit sind ∠A = ∠C und ∠B = ∠D, was bestätigt, dass ABCD ein Trapez ist.

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