Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 17

Nº 1.17. Dados quatro pontos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). Elabore as equações: a) plano A1A2A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2. Calcule: e) o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3; Nº 2.17. Crie uma equação para um plano que passa pelo ponto M(1;-1;2) perpendicular ao segmento M1M2; se M1(2;3;-4); M2(-1;2;-3). Nº 3.17. Mostre que a reta é paralela ao plano x + 3y - 2z + 1 = 0; e reta x = t + 7; y = t - 2; z = 2t + 1 está neste plano. Obrigado pela sua compra. Se você tiver alguma dúvida, escreva-me por e-mail (veja "informações sobre o vendedor").

Nº 1.17. Para compor as equações você precisará das seguintes fórmulas:

• A equação de um plano na forma geral é: Ax + By + Cz + D = 0, onde A, B, C são os coeficientes do plano que determinam seu vetor normal, e D é o termo livre.
• Equação de uma linha reta na forma paramétrica: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, onde (x0, y0, z0) são as coordenadas de um ponto na linha reta, a, b, c são os coeficientes de direção da linha reta, parâmetro t.

a) Vamos construir os vetores A1A2 e A1A3, encontrar seu produto vetorial e obter o vetor normal do plano. A equação geral do plano é: 6x - 9y - 6z + 63 = 0.

b) Encontre o vetor diretor da reta A1A2: (6-4, 6-9, 5-5) = (2, -3, 0). A equação de uma linha reta na forma paramétrica: x = 6 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

c) Vamos encontrar o vetor diretor da reta A4M como o produto vetorial do vetor normal do plano A1A2A3 e o vetor A4M. A seguir comporemos a equação da reta na forma paramétrica usando o ponto A4. Vetor de direção: (-3, -3, -6). Equação de uma linha reta: x = 6 - 3t, y = 9 - 3t, z = 3 - 6t.

d) Como a reta A3N é paralela à reta A1A2, seu vetor direção coincidirá com o vetor direção da reta A1A2: (2, -3, 0). A equação de uma linha reta na forma paramétrica: x = 4 + 2t, y = 6 - 3t, z = 5.

e) Encontre o vetor normal do plano que passa pelo ponto A4 usando o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A4. A equação geral do plano é: -3x - 6y + 9z + 45 = 0.

f) Encontre os vetores direções das retas A1A4 e A1A2, calcule seu produto escalar e comprimentos usando a fórmula |a||b|cos(ângulo entre vetores) = ab. Então encontramos o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, usando a fórmula sin(ângulo) = |n(A1-A4)| / (|n|*|A1-A4|), onde n é o vetor normal do plano, A1-A4 é o vetor que conecta os pontos A1 e A4. Resultado: sin(ângulo) = 2/3.

g) Encontre o vetor normal do plano A1A2A3 usando o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3. Então encontramos o cosseno do ângulo entre o plano A1A2A3 e o plano coordenado Oxy, usando a fórmula cos(ângulo) = |nUhu| / (|n||Oxy|), onde Oxy é o vetor unitário situado no eixo Ox. Resultado: cos(ângulo) = 2/3.

Nº 2.17. Vamos encontrar o vetor de direção do segmento M1M2: (-3, -1, 1). O vetor normal do plano coincidirá com o vetor diretor do segmento, pois o plano deve ser perpendicular ao segmento. A equação geral do plano é: -3x - y + z + 1 = 0.

Nº 3.17. O vetor de direção da reta dada pela equação vetorial é igual a (1, 1, 2). Este vetor não é normal ao plano x + 3y - 2z + 1 = 0, o que significa que a reta é paralela a este plano. Para ter certeza de que a linha reta está neste plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano e obtemos: (t+7) + 3(t-2) - 2(2t+1) + 1 = 0, que é equivalente a t = -1. Quando t = -1, as coordenadas da reta coincidem com as coordenadas de um ponto situado no plano, o que significa que a reta está neste plano.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 17 é uma tarefa de álgebra linear, que inclui diversas tarefas de elaboração de equações de retas e planos, determinação de ângulos entre retas e planos e também verificação se uma reta está em um determinado plano.

Nº 1.17. Dados quatro pontos A1(6;6;5); A2(4;9;5); A3(4;6;11); A4(6;9;3). É necessário criar equações: a) plano A1A2A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4, perpendicular à reta A1A2; f) calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

Nº 2.17. É necessário criar uma equação para um plano que passa pelo ponto M(1;–1;2) perpendicular ao segmento M1M2, onde M1(2;3;–4); M2(–1;2;–3).

Nº 3.17. É necessário mostrar que a reta é paralela ao plano x + 3y – 2z + 1 = 0, e a reta x = t + 7; y = t – 2; z = 2t + 1 está neste plano.

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