IDZ Ryabushko 3.2 Option 6

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N°1 Pour résoudre le problème, nous avons besoin d'une formule pour trouver la distance entre deux points sur un plan :

d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)

a) Pour trouver l'équation du côté AB, trouvez les coordonnées des points A et B :

UNE(-2, -3); B(1, 6)

Trouvons la distance entre les points A et B :

d = √((1-(-2))² + (6-(-3))²) = √(3² + 9²) = √90

L’équation du côté AB est :

(x₁ - x₂)y + (y₂ - y₁)x + (x₁y₂ - x₂y₁) = 0

Remplacez les coordonnées des points A et B :

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9 ans + 3x + 20 = 0

b) Pour trouver l'équation de la hauteur de CH, on trouve les coordonnées du point H, qui est l'intersection de la hauteur de CH et du côté AB. Pour cela, trouvez l'équation de la droite AB et les coordonnées du point H :

(-3 - 6)y + (1 - (-2))x + (-3×6 - 1×(-2)) = 0

-9 ans + 3x + 20 = 0

L’équation de la droite AB est :

y = (3/9)x + (20/9)

Puisque la hauteur CH passe par le point C et est perpendiculaire au côté AB, la pente de la hauteur est -3/9 = -1/3. A l'aide des coordonnées du point C et du coefficient angulaire de la hauteur, on trouve l'équation de la hauteur de CH :

y - 1 = (-1/3)(x - 6)

y = (-1/3)x + 7

c) Pour trouver l'équation de la médiane AM, on trouve les coordonnées du point M, qui est le milieu du côté AB. Pour ce faire, on trouve la moyenne arithmétique des coordonnées des points A et B :

x = (-2 + 1)/2 = -0,5 ; y = (-3 + 6)/2 = 1,5

Le point M a des coordonnées (-0,5, 1,5). L'équation de la médiane AM passe par les points A et M, on utilise donc la formule pour trouver l'équation d'une droite passant par deux points donnés :

y - (-3) = ((1,5 - (-3))/(-0,5 - (-2)))(x - (-2))

y + 3 = (4,5/1,5)(x + 2)

y = 3x - 9

d) Pour trouver le point d'intersection de la médiane AM et de la hauteur CH, on résout le système d'équations :

y = (-1/3)x + 7

y = 3x - 9

En résolvant le système, on obtient les coordonnées du point N :

x = 1 ; y = 4

Le point N a les coordonnées (1, 4).

e) Pour trouver l'équation d'une droite passant par le sommet C et parallèle au côté AB, on trouve la pente du côté AB :

k = (6 - (-3))/(1 - (-2)) = 3

Puisque la droite recherchée passe par le point C, l'équation de la droite a la forme :

oui - 1 = 3(x - 6)

y = 3x - 17

f) Pour trouver la distance du point C à la ligne AB, on utilise la formule :

d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²), où x₀ et y₀ sont les coordonnées du point C ; a, b et c sont les coefficients de l'équation de la droite AB.

Remplacez les valeurs dans la formule :

d = |(-9)×(-1) + 3×(-3) + 20|/√(9 + 81) = 6/√90 = 2√10/3.

Ainsi, la distance du point C à la ligne AB est 2√10/3.

N°2 Pour prouver que le quadrilatère ABCD est un trapèze, il faut vérifier que les angles entre côtés parallèles sont égaux (cette propriété est appelée propriété des bases d'un trapèze), soit ∠A = ∠C et ∠B = ∠D.

Trouvons les équations des côtés AD et BC en utilisant la formule pour trouver la distance entre deux points sur un plan :

AD : d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((-5-3)² + (5-6)²) = √74

BC: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) = √((5-(-1))² + (2-(-3))²) = √65

Puisque les côtés AD et BC ne sont pas égaux, le quadrilatère ABCD n’est pas un trapèze isocèle.

Reste à vérifier que les angles entre côtés parallèles sont égaux :

∠А = arctg((5-6)/(-5-3)) ≈ 128,66°

∠С = arctg((2-(-3))/(5-(-1))) ≈ 128,66°

∠В = arctg((5-6)/(3-(-1))) ≈ -41,19°

∠D = arctg((2-(-3))/(5-3)) ≈ -41,19°

Ainsi, ∠A = ∠C et ∠B = ∠D, ce qui confirme que ABCD est un trapèze.

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